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相关试卷

1、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 $y$ （单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量 $x$ （单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)、依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请计算相关系数 $r$ ，并说明线性相关性的强弱（相关系数 $r$ 精确到小数点后2位，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量 $y$ 约为多少百千克．
附：数据和公式： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6; \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20; \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2; \sqrt{10} \approx 3.16$ ；回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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2、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数之和为22．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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3、在 $(\frac{x}{2} - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中，x²y⁵项的系数是.

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4、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 $n$ 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则 $n$ 的值为．

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5、现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加 $A, B, C$ 三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（）

A、不同的安排方法共有 $3^{4}$ 种 B、若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 $C_{3}^{1} (2^{4} - 1)$ 种 C、若甲，乙两人都不能去参加 $A$ 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D、若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种

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6、若点 $M$ 是曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 \ln x$ 上任意一点，则 $M$ 到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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7、下列说法中错误的是（）

A、样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8 B、线性回归直线 $y = \hat{a} x + \hat{b}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、两个随机变量相关系数 $r$ 越小，表明两个变量相关性越弱 D、两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

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8、若曲线 $y = \ln x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 x + a (x < 0)$ 有公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 - 1, + \infty)$ B、 $[- \ln 2 - 1, + \infty)$ C、 $(- \ln 2 + 1, + \infty)$ D、 $[- \ln 2 + 1, + \infty)$

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9、为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 $m$ 株和 $n$ 株（ $m$ ， $n \in N^{*}$ ）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位： $kg$ ）如下表所示：
编号位置
①
②
③
④
山上
5
4
4
3
山下
4
2
2
1

(1)、根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；

(2)、记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，根据样本数据估计 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系；

(3)、从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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10、（1）已知 ${(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；
（2）解不等式： $3 A_{x}^{3} < 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ .

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11、在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用 $A_{i}$ 表示 $i$ 号箱有奖品 $(i = 1, 2, 3, 4)$ ，用 $B_{i}$ 表示主持人打开 $i$ 号箱子 $(i = 2, 3, 4)$ ，现在已知甲选择了 $1$ 号箱，则 $P (B_{3} |A_{2}) =$ ； $P (B_{3}) =$ .

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12、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ .

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13、若函数 $f (x) = (1 + \frac{1}{x}) (a + ln x)$ 是其定义域上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2]$

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14、已知某物体在运动过程中，其位移 $S$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）满足函数关系式 $S (t) = \sin t - 2 \cos t + t + 1$ ，则该物体在 $t = \frac{π}{2}$ 时的瞬时速度为（）

A、 $3 m / s$ B、 $2 m / s$ C、 $\sqrt{3} m / s$ D、 $1 m / s$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} + a_{5} = 22$ ， $1 + 2 a_{2} = a_{4}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ ， $b_{2} = 2 b_{1}$ ， $b_{4} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 分别存在导函数 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，且对任意实数 $x$ ，都存在常数 $k$ ，使 $f^{'} (x) \geq k g^{'} (x)$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = g (x)$ 的“ $k -$ 控制函数”，称 $k$ 为控制系数．

(1)、求证：函数 $f (x) = 3 x + 1$ 是函数 $g (x) = cos x$ 的“ $3 -$ 控制函数”；

(2)、若函数 $f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 20 x$ 是函数 $g (x) = e^{x}$ 的“ $k -$ 控制函数”，求控制系数 $k$ 的取值范围；

(3)、若函数 $p (x) = e^{x} + m e^{- x}$ ，函数 $y = q (x)$ 为偶函数，函数 $y = p (x)$ 是函数 $y = q (x)$ 的“ $1 -$ 控制函数”，求证：“ $m = 1$ ”的充要条件是“存在常数 $c$ ，使得 $p (x) - q (x) = c$ 恒成立”．

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17、11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙发球时乙得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．

(1)、求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)、求第一局比赛甲获胜的概率 $p_{0}$ ；

(3)、现用 $P_{0}$ 估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．

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18、已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x} (a \in R) ．$

(1)、若 $a = - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若存在 $x \in (1, + \infty)$ ，使得 $f (x) \leq \frac{a}{x}$ 成立，求a的取值范围．

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19、结合排列组合，解决下列问题 $． ($ 结果用数字作答 $)$

(1)、将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？

(2)、将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？

(3)、将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？

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20、已知 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中共有11项．

(1)、求展开式中含 $x^{4}$ 的项的系数； $($ 结果用数字作答 $)$

(2)、求二项式系数最大的项．

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编号位置	①	②	③	④
山上	5	4	4	3
山下	4	2	2	1