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相关试卷

1、已知随机变量X的分布列为
$X$
0
1
$P$
$p$
$1 - p$
若 $D (X) = \frac{p}{4} (0 < p < 1)$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、若随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3、从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（）种

A、9 B、36 C、54 D、72

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4、已知向量 $\vec{a} = (x, 4, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x y = - 8$ B、 $x y = - 2$ C、 $x y = 2$ D、 $x y = 8$

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5、某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，发现得分均在区间 $[30, 90]$ 内 $.$ 现将 $100$ 个样本数据按 $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90]$ 分成 $6$ 组，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出频率分布直方图中 $x$ 的值；

(2)、请估计样本数据的众数和平均数；

(3)、学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是 $77$ 分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．

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6、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} + b x^{2}$ ，其中 $a \geq 0, b \geq 0$ ．

(1)、当 $a = 0, b = 0$ 时，
①若 $x \leq 3$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
②若直线 $l$ 是曲线 $f (x)$ 的切线，且 $l$ 经过点 $(t, 0)$ ，证明： $| t | \geq 2$ ；

(2)、当 $b > 0$ 时，若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

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7、若抛物线 $y^{2} = m x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合，则实数 $m$ 的值为．

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8、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{1} = 1$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $a_{1} \in (2, 3)$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n} \leq 3$ D、当 $a_{1} \in (3, 4)$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n} < 3$

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9、某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译 $x$ 人，且 $x$ 满足 $A_{8}^{x} < 6 A_{8}^{x - 2}$ ，能从事俄语翻译6人．

(1)、问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？

(2)、现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？

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10、为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示：
社区
居民意见
合计
满意
不满意
A社区
30
45
B社区
55
合计
25

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？

(2)、现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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11、若存在实数a，b使得 $e^{a} + b e^{2} \leq a + ln b + 4$ ，则 $a + b$ 的值为．

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12、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（）

A、第10行所有数字的和为1024 B、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + \dots + C_{10}^{2} = 119$ C、第9行所有数字的平方和等于 $C_{18}^{9}$ D、若第 $n$ 行第 $i$ 个数记为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} (2^{i - 1} \cdot a_{i}) = 3^{n}$

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13、一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件 $A_{i}$ 为“第 $i$ 次取到的球是红球 $(i = 1, 2)$ ”，事件 $B$ 为“两次取到的球颜色相同”，事件 $C$ 为“两次取到的球颜色不同”，则（）

A、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 互斥 B、 $P (A_{2}) = \frac{1}{2}$ C、 $P (A_{1}| C) = \frac{1}{2}$ D、 $A_{1}$ 与 $B$ 相互独立

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14、若函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x + 1$ 在 $(1, 2)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2]$

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15、下列说法不正确的是（）

A、在做回归分析时，可以用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的回归效果，若 $R^{2}$ 越大，则说明模型拟合的效果越好 B、若随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ > 5) = 0.2$ ，则 $P (- 1 < ξ < 5) = 0.6$ C、若随机变量 $ξ ~ B (9, \frac{2}{3})$ ，则方差 $D (ξ) = 2$ D、若甲、乙两组数据的相关系数分别为 $- 0.911$ 和0.89，则乙组数据的线性相关性更强

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16、 $(x^{2} + 2) {(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1)}^{5}$ 展开式中的常数项为（）

A、3 B、-3 C、7 D、-7

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17、若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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18、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求该样本的第80百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在 $[60, 80)$ 内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在 $[60, 70)$ 内，另一人成绩在 $[70, 80)$ 内的概率.

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19、已知 $f (x) = x^{2} - 2 a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ） $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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20、设 ${(x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{5}$ 是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中唯一的最大值，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、若 ${(x + 3)}^{n} = b_{0} + b_{1} (x + 2) + b_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + b_{n} {(x + 2)}^{n}$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{b_{r - 1}}{r}$ .

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社区	居民意见		合计
社区	满意	不满意
A社区	30		45
B社区			55
合计		25

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

$X$	0	1
$P$	$p$	$1 - p$