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相关试卷

1、一个 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .

(1)、如果这个三角形为锐角三角形，且满足 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围；

(2)、若 $△ A B C$ 内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着 $△ A B C$ 的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种 $△ A B C$ 的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为正方形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点.

(1)、求证： $D M ⊥ P C$ ；

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在一点 $Q$ 使得 $M Q //$ 平面 $P N C$ ，存在指出位置，不存在请说明理由.

(3)、求二面角 $B - P C - N$ 的正弦值．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ ，且 $6 S = a (b + c)$ ．

(1)、若 $\sin B = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos A$ ；

(2)、若 $a = 3, A = \frac{π}{3}$ ，求 $S$ ．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A B = P A = 2$ ，且直线PD与底面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面PAC；

(2)、求点C到平面PBD的距离．

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5、某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图：

(1)、求直方图中的 $x$ 的值

(2)、估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数．

(3)、从月平均用电量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 $11$ 户居民，求从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？

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6、如图，几何体 $E - A B C D$ 是四棱锥， $△ A B D$ 为正三角形， $B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为线段 $A E$ 的中点.则直线 $M D$ 与平面 $B E C$ 的位置关系为（填相交或平行）. $N$ 为线段 $E B$ 上一点，使得 $D, M, N, C$ 四点共面，则 $\frac{B N}{B E}$ 的值为.

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7、数据2，4，6，8，10，12，14，16，18，20的第70百分位数为．

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8、如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且 $B C = 2 A B = 2$ ， $B F \cap A E = O$ ，现将 $△ A B E$ 沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）

A、 $C F ⊥ O P$ B、存在点P，使得 $P E / / C F$ C、存在点P，使得 $P E ⊥ E D$ D、三棱锥 $P - A E D$ 的体积最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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9、下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A、已知 $A (2, 3), B (4, - 3)$ ，点 $P$ 在直线 $A B$ 上，且 $| \vec{A P} | = \frac{3}{2} | \vec{P B} |$ ，则 $P$ 的坐标为 $(\frac{16}{5}, - \frac{3}{5})$ ； B、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A O}, | \vec{A O} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ C、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心．

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10、设 $z, z_{1}, z_{2}$ 是复数，则（）

A、若 $| z | = 2$ ，则 $z^{2} = 4$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ D、若 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 为纯虚数

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11、已三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是以角 $A$ 为直角的直角三角形， $A B = A C = 2, P B = P C, P A = \sqrt{14}, O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆的圆心， $\cos ∠ P A O_{1} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ ，那么三棱锥 $P - A B C$ 外接球的半径为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$

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12、祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）

A、 $a = \frac{3 V}{h}$ ， $r = \frac{3 V}{π}$ ， $\frac{a}{r} = \frac{1}{π}$ B、 $a = \frac{3 V}{h}$ ， $r = \frac{3 V}{π h}$ ， $\frac{a}{r} = π$ C、 $a = \sqrt{\frac{3 V}{h}}$ ， $r = \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ ， $\frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{π}}$ D、 $a = \sqrt{\frac{3 V}{h}}$ ， $r = \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ ， $\frac{a}{r} = \sqrt{π}$

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13、设 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，满足 $\vec{D O} = \frac{2}{3} λ \vec{A B} - \frac{1}{2} λ \vec{A C}, λ \in R$ ，若 $|\vec{B C}| = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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14、现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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15、已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出 $α ∥ β$ 的是（）

A、 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ∥ n$ B、 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ C、 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ D、 $α ⊥ n$ ， $β ⊥ n$

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16、 $△ A B C$ 的三内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{3} a b$ ，则角 $C$ 的大小（）．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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17、在复平面内，复数 $z = \frac{1 - 3 i}{1 - i}$ ，则 $|z|$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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18、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ ．

(1)、求 $B$ 的大小

(2)、若 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的范围

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19、（1）已知 $(2 x - y + 1) + (y - 2) i = 0$ ，求实数 $x$ 、 $y$ 的值.
（2）设 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = m - i (m \in R)$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，求 $m$ 的值.

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20、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

(1)、 $\sin 72 ° \cos 42 ° - \cos 72 ° \sin 42 °$ ；

(2)、 $\cos 20 ° \cos 70 ° - \sin 20 ° \sin 70 °$ ；

(3)、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °}$

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