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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{cos A} + \frac{b}{cos B} = \frac{c}{sin C}$ ．

(1)、证明： $cos A cos B = sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{c^{2}}{10 sin C}$ ，求 $cos C$ ．

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2、 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $A, C$ 两点在双曲线上且关于原点对称（点 $A$ 在第一象限），直线 $C F_{2}$ 与双曲线的另一个交点为点 $B$ ，若 $|A F_{1}| - |B F_{2}| = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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3、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $f (f (3)) =$ ．

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4、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，记 $\{x\} = x - [x]$ ，则对任意实数 $x, y$ ，有（）

A、 $\{- x\} = \{x\}$ B、 $\{2 x\} = 2 \{x\}$ C、 $\{x\} + \{y\} \leq \{x + y\}$ D、 $\{x\} - \{y\} \leq \{x - y\}$

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5、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

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6、若空间中四个不同的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，满足 $α_{1} ⊥ α_{2}, α_{2} ⊥ α_{3}, α_{3} ⊥ α_{4}$ ，则下面结论一定正确的是（）

A、 $α_{1} ⊥ α_{4}$ B、 $α_{1}$ $∥$ $α_{4}$ C、 $α_{1}, α_{4}$ 既不垂直也不平行 D、 $α_{1}, α_{4}$ 的位置关系不确定

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7、某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有（）

A、 $C_{20}^{4} C_{30}^{6} C_{50}^{20}$ B、 $C_{20}^{5} C_{30}^{10} C_{50}^{15}$ C、 $C_{20}^{6} C_{30}^{9} C_{50}^{15}$ D、 $C_{20}^{10} C_{30}^{10} C_{50}^{10}$

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8、若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x} - 1$ 和 $y = e^{x - 1}$ 的公切线，则实数k的值是（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e$ C、0 D、1

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9、定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x₁ ， x₂∈R，都有f（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ） $\leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax²+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，其中自然对数的底数 $e \approx 2.718$ ，函数 $F (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $F (x) = f (x)$ ．

(1)、求 $F (x)$ 的解析式；

(2)、证明函数 $F (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调递增；

(3)、若 $a e^{2 x} - e^{x} + a \geq 0 (x \in [1, 2])$ 恒成立，求常数 $a$ 的取值范围．

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11、计算或化简．

(1)、化简： $\frac{\sqrt{a b \cdot \sqrt[3]{a b}}}{\sqrt[3]{a b \sqrt{a b}}} + \sqrt[4]{{(a - b)}^{4}} + \sqrt[3]{{(a - b)}^{3}} (0 < a < b)$ ；

(2)、计算： ${(\frac{25}{9})}^{\frac{1}{2}} + {0.1}^{- 2} + {(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}} - 3 π^{0}$ ；

(3)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} + 2}{x^{2} + x^{- 2} + 3}$ 的值．

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12、二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足下列三个条件：① $f (0) = - 1$ ；②对任 $x \in R$ ，均有 $f (x - 4) = f (2 - x)$ ；③函数 $f (x)$ 的图象与函数 $g (x) = x - 1$ 的图像有且只有一个公共点，若 $f (x - t) \leq g (x)$ 解集为 $[4, m] (m > 4)$ ，则 $m =$ ； $t =$ ．

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13、函数 $f (x) = \sqrt{9 - 3^{x + 1}}$ 的定义域是．

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14、函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2022) = 0$ B、直线 $x = - 5$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7, 7]$ 上有5个零点 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7, - 5]$ 上为减函数

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15、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域上是减函数 B、函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 有且只有两个零点 C、函数 $y = 2^{|x|}$ 的最小值是1 D、在同一坐标系中函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + \frac{1}{x}, x > 0 \\ 2^{| x |}, x < 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = x^{2} + a x + b$ ，若方程 $g [f (x)] = 0$ 有且仅有 $5$ 个不相等的解，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4)$ B、 $(- \infty, - 8)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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17、函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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18、若函数 $f (x) = - x^{2} + 2 a x + 1 - a, x \in [0, 1]$ 的最大值为 $2$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $1$ 或 $2$ B、 $- 1$ 或 $- 2$ C、 $- 1$ 或 $2$ D、 $1$ 或 $- 2$

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19、当 $a \neq 0$ 时，函数 $y = a x + b$ 和 $y = b^{a x}$ 的图象只可能是（）

A、 B、 C、 D、

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20、已知全集 $U = {x \in Z | | x - 2 | < 3}$ ， $A = {x \in N^{*} | x^{2} - 2 x < 3}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${3, 4}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 3, 4}$

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