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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，已知 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量为.

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A、若点 $O$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $M O / /$ 平面 $A_{1} D B$ B、连接 $B M$ ，则直线 $B M$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 成角正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、若点 $N$ 为线段 $B C$ 上的动点（包含端点），则 $M N + D N$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ D、若点 $Q$ 在侧面正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内（包含边界），且 $M Q ⊥ A_{1} C$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$

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3、已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $z = i^{2} + i^{3} + i^{4}$ 的虚部为 $- 1$ B、若 $z$ 是复数，满足 $(z - 1) i = 1 + i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、若 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 是非零复数，且 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 是非零复数，且 $z_{1}^{2} = z_{1} z_{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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4、如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t$ 秒时相对于平衡位置的高度 $h$ 厘米由关系式 $h (t) = A sin (ω t + φ)$ 确定，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ .小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（）

A、 $h (t) = A sin (π t + \frac{π}{2})$ B、 $t = 9$ 秒与 $t = \frac{5}{3}$ 秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C、当 $0 < t < t_{0}$ 时，若小球有且只有三次到达最高点，则 $t_{0} \in [5, 7]$ D、当 $0 < t_{1} < t_{2} < 2$ 时，若 $t_{1}, t_{2}$ 时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 $sin (\frac{π}{t_{1} + t_{2}}) = 1$

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5、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2$ ， $A = 30 °$ ，若三角形有唯一解，则整数 $b$ 构成的集合为（）

A、 $\{3\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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6、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 都为正数，其方差 $s^{2} = \frac{1}{5} (\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - 80)$ ，则样本数据的平均数为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $4 \sqrt{5}$

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7、抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，事件 $C =$ “两枚硬币都正面朝上”，事件 $D =$ “至少一枚硬币反面朝上”则（）

A、 $C$ 与 $D$ 独立 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (D) = \frac{1}{2}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$

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8、已知两条不同的直线 $m$ ， $n$ 及三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 则下列推理正确的是（）

A、 $α ⊥ β, α \cap β = n$ ， $m ⊥ n \Rightarrow m ⊥ β$ B、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ \Rightarrow α ⊥ β$ C、 $α \cap β = m$ ， $n / / α$ ， $n // β \Rightarrow m // n$ D、 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ α \Rightarrow m / / α$

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9、将函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，与函数 $g (x) = cos (ω x + φ)$ 的图象重合，则 $ω$ 的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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12、如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角 $P - A B C$ ， $∠ A P C = α$ ， $∠ B P C = β$ ， $∠ A P B = γ$ ，二面角 $A - P C - B$ 的大小为 $θ$ ，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理： $\cos γ = \cos α \cos β + \sin α \sin β \cos θ$ ．

(1)、如图2，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点M是点B在平面APC中的投影， $B D ⊥ P C$ ，连接MD， $P A = 4$ ， $∠ A P C = 60 °$ ， $∠ B P C = 45 °$ ， $∠ A P B = 90 °$ ， $P B + P C = 8$ ．
①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值；
②求三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值；

(2)、当 $α$ 、 $β$ 、 $γ \in (0, \frac{π}{2})$ 时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理．

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13、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， P为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S P = 3 P D$ ，

(1)、求正四棱锥 $S - A B C D$ 的表面积；

(2)、求点 $S$ 到平面 $P A C$ 的距离；

(3)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点E，使得 $B E //$ 平面 $P A C$ .若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 2, ∠ B A C = \frac{π}{3}, D$ 是 $B C$ 边的中点， $C E ⊥ A B, A D$ 与 $C E$ 交于点 $F$ .

(1)、求 $C E$ 和 $A D$ 的长度；

(2)、求 $cos ∠ C F D$ .

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15、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线．

(1)、若 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $\vec{m} = 2 \vec{a} - k \vec{b}$ ， $\vec{n} = 3 \vec{a} - 5 \vec{b}$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{O A} = \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 5 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 7 \vec{a} + \frac{7}{2} \vec{b}$ ，求证：A，B，C三点共线．

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16、已知菱形ABCD的边长为2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ．将 $△ D A C$ 沿着对角线AC折起至 $△ D^{'} A C$ ，连结 $B D^{'}$ ．设二面角 $D^{'} - A C - B$ 的大小为 $θ$ ，当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时，则四面体 $D^{'} A B C$ 的外接球的表面积为．

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17、若 $x \in [0, 4]$ 时，曲线 $y = sin (π x)$ 与 $y = 2 \sin (2 π x - \frac{π}{6})$ 的交点个数为．

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18、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

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19、函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + 2 \cos^{2} ω x - 1 (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x + \frac{π}{6}) \cos x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $y = f (2 x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 D、若 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则实数 $t \in [\frac{11}{6}, \frac{17}{6})$

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20、筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒 $M$ 距离水面的高度 $H$ （单位：米，记水筒 $M$ 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间 $t$ （单位：秒）满足函数关系式 $H = 2 \sin (\frac{π}{30} t + φ) + \frac{5}{4}$ ， $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $t = 0$ 时，盛水筒 $M$ 位于水面上方 $2.25$ 米处，当筒车转动到第 $80$ 秒时，盛水筒 $M$ 距离水面的高度为（）米．

A、 $3.25$ B、 $2.25$ C、 $1.25$ D、 $0.25$

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