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相关试卷

1、在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为 $A, B, C, D$ ，其中 $A$ 对阵其他三个队伍时获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，最初分组时， $A, B$ 同组， $C, D$ 同组.

(1)、若 $p = \frac{3}{4}$ ，在淘汰赛赛制下， $A, C$ 获得冠军的概率分别为多少？

(2)、分别计算两种赛制下 $A$ 获得冠军的概率（用 $p$ 表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

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2、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额 $= \frac{总盈利额}{年度}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式

(2)、哪种方案较为合理？并说明理由.

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3、解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示）

(1)、 $2 x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$

(2)、 $x^{2} - x - 6 > 0$

(3)、 $- x^{2} + 2 x - 1 < 0$

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4、如图，已知矩形 $U$ 表示全集， $A ､ B$ 是 $U$ 的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A、 $∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $A \cap (∁_{U} B)$ D、 $B \cap (∁_{U} A)$

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5、在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以 $\frac{1}{2}$ 的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过 $- 2$ 或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件 $\{A_{n}\}$ 表示“机器人的前 $n$ 次移动均未向雷达发送信息”.

(1)、求 $P (A_{2})$ ， $P (A_{4});$

(2)、已知①②两个结论：① $P (A_{n + 2} |A_{n}) < \frac{3}{4}$ ；②设 $\{X_{n}\} (n \in N^{*})$ 是一列无穷个事件，若存在正数 $N$ ，对于任意的 $n$ 均有 $\sum_{i = 1}^{n} P (X_{i}) < N$ ，则“ $\{X_{n}\}$ 中只有有限个事件同时发生”的概率为1.
（i）证明： $\sum_{i = 1}^{n} P (A_{2 i}) < 3$ 事件；“雷达会收到信息”的概率为1；
（ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.

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6、若a＞b，c＞d，则（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、a－c＞b－d C、a－d＞b－c D、ac＞bd

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7、已知 $\log_{4} 5 = a$ ， $\log_{25} 2 = b$ ，则 $a b =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为R，求a的取值范围；

(2)、求关于x的不等式 $f (x) > x - 3$ 的解集．

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9、将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个，为了争取最大利益，此商品的售价应定为多少元?

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10、设集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 >0\}, B = \{x | - 4 < 3 x - 7 <8\}$ .
(1)求 $A \cup B, A \cap B$ ；
(2)已知集合 $C = \{x | a < x <2 a + 1\}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是增函数.

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12、设函数 $f (x) = x^{2} -2 x + 3, x \in [0, 3]$ ，则该函数的值域为．

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13、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 的定义域为．

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14、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x - 12}$ 的单调递减区间为.

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15、已知集合 $A = \{1, 3, 6\}$ ，则集合A的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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16、定义：若对 $\forall k \in N^{*}, k \geq 2, a_{k - 1} + a_{k + 1} \leq 2 a_{k}$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”．

(1)、若 $a_{n} = \sqrt{n^{2} - 1}$ ，判断 $\{a_{n}\}$ 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”，则当 $m \geq n + 2 (m, n \in N^{*})$ 时， $a_{m} + a_{n} \leq a_{m - 1} + a_{n + 1}$ ．
（ⅰ）若数列 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} \geq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}$ （ $n$ 为常数且 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ），若 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_{i}^{2} - 1} \geq \sqrt{{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - λ)}^{2} - 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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17、设函数 $f (x) = x^{2} + a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)、过坐标原点O作曲线 $y = f (x)$ 的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

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18、锐角 $△ A B C$ 中， $C = 2 B, B C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与其在点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线相互垂直，则 $x_{1} - x_{2}$ 的一个取值为.

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20、设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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