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相关试卷

1、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{8} = 17, S_{17} = 340$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公差是（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{4}$ D、3

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3、2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台．在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育．与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大．基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（）

认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
参考数据：
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

A、不能根据小概率的 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 B、根据小概率的 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 C、根据小概率的 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 D、根据小概率的 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者无关

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4、已知 $i (z - 1) = z + 1$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- i$ B、 $1 - i$ C、 $i$ D、 $1 + i$

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5、我们知道，复数可以用 $a + b i (a, b \in R)$ 的形式来表示，与复平面内的点 $Z (a, b)$ 是一一对应的，复数的模 $| z | = | a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，即是复平面内的点 $Z (a, b)$ 到坐标原点 $O$ 的距离 $|O Z|$ ．又复数与平面向量 $\vec{O Z} = (a, b)$ 也是一一对应的，所以也可以借助与 $x$ 非负半轴为始边，以向量 $\vec{O Z}$ 所在射线（射线OZ）为终边的角 $θ$ 来刻画 $\vec{O Z}$ 的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．
如： $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i$ ， $|z_{1}| = 2$ ，角 $θ_{1} = \frac{π}{6}$ ； $z_{2} = \sqrt{3} + i$ ， $|z_{2}| = 2$ ，角 $θ_{2} = \frac{π}{3}$ ，由 $z_{1} \cdot z_{2} = (1 + \sqrt{3} i) \times (\sqrt{3} + i) = 4 i$ ．即：复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ ，相当于将复数 $z_{1}$ 伸长了 $|z_{2}|$ 倍，同时逆时针旋转角 $θ_{2}$ 后得到．

(1)、计算 $\frac{a + b i}{i} (a, b \in R)$ ，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；

(2)、现将直角坐标平面内任意一点 $P (x, y)$ ，绕坐标原点逆时针旋转 $θ$ 角，并将 $|O P|$ 的长度伸长 $m$ 倍后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ ．请借助以上复数运算的知识，推导点 $P$ 与点 $Q$ 伸缩旋转变换的坐标关系；

(3)、已知反比例函数 $C : y = \frac{1}{x}$ ，现将函数 $C$ 上的点 $P (x, y)$ 都逆时针旋转 $45 °$ 后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 的曲线 $C^{'}$ ，求曲线 $C^{'}$ 上的点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 坐标关系式．

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6、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．若A，C，D三点共线，则实数 $λ =$ ．

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7、如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{i} + y \vec{j}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系Oxy中的坐标，即 $\vec{O P} = (x, y)$ ．在坐标系Oxy中，设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（）

A、等式 $c = a \cos B + b \cos A$ 恒成立 B、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{6}$ ，则满足条件的三角形有两个

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9、圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离 $B$ 约为 $40 m$ 的点 $M$ （B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $45 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（）

A、 $52 m$ B、 $54 m$ C、 $60 m$ D、 $80 m$

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10、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、3 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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11、辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（）

A、 $\frac{2}{3} R$ B、 $\frac{7}{12} R$ C、 $\frac{1}{2} R$ D、 $\frac{5}{12} R$

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12、已知函数 $f (x) = a x - e^{x - 1} - \frac{a}{2}$ 的一个零点是 $x = 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴的交点为 $Q (x_{0}, 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $Q$ 处的切线为 $l$ ，求证：曲线 $y = f (x)$ 上的点都不在直线 $l$ 的上方；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t (t > 0)$ 有两个不相等的实根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < 2 - \frac{4}{3} t$ ．

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13、氨基酸在茶叶中约占1%到4%的含量，为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联，抽取90份样品列表如下：
氨基酸
春季
夏季
含量高
30
20
含量低
15
25

(1)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响？

(2)、随机抽取1000份茶叶，氨基酸含量 $X$ 近似服从正态分布 $N (0.02, σ^{2})$ ，其中恰有23份氨基酸含量不小于0.03.
①求 $σ$ ；
②如果茶叶中氨基酸含量小于1.5%，则该份茶叶为乙等产品，求这批茶叶中的乙等产品约有多少份.
附：Ⅰ.参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
下表是 $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
Ⅱ.对任何一个正态分布 $X$ 服从 $N (μ, σ^{2})$ 来说，通过 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ 转化为标准正态分布 $Z$ 服从 $N (0, 1)$ ，从而查标准正态分布表得到 $P (X < X_{1}) = P (Z < Z_{1}) = Φ (Z_{1})$
可供查阅的（部分）标准正态分布表：
$Z_{1}$
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
$Φ (Z_{1})$
0.841
0.885
0.919
0.945
0.964
0.977
0.986
0.992
0.995

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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15、某种植物子二代的基因型为 $D D$ ， $D d$ ， $d d$ ，其中 $D$ 为显性基因， $d$ 为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.

(1)、在子二代中按基因型比例抽取4株，再从这4株中随机抽取2株，求抽取的基因型是 $D d$ 的株数 $X$ 的分布列和期望；

(2)、在子二代中任意选取2株进行杂交实验，求子三代中基因型为 $D d$ 的概率.

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16、已知 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + t x - 2 t + 2$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = g (x + a) - b$ 为奇函数，若 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的一个极值点，求曲线 $y = f (x)$ 的对称中心.

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17、已知 $P (t, t^{2})$ ，过点 $P$ 可作曲线 $f (x) = x + \ln x$ 的两条切线，则 $t$ 的取值范围为；若切点为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，则 $\frac{x_{1} \ln x_{1} - x_{2} \ln x_{2}}{x_{1} - x_{2}}$ 的取值范围为.

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18、 ${(x^{2} + x + y)}^{7}$ 展开式中 $x^{5} y^{3}$ 的系数为.

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19、假设每次实验只有两种结果“成功”和“失败”，且每次实验的成功概率都是 $p (0 < p < 1)$ ，若进行多次实验，直到失败 $r$ 次，那么成功的次数 $X$ 服从“负二项分布”，记作： $X ~ N B (r, p)$ ，若 $X ~ N B (r, p)$ ，则（）

A、若 $r = 1$ ，则 $P (X = k) = p^{k} (1 - p)$ ， $k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot$ B、若 $r = 1$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{p}{1 - p}$ C、 $P (X = k) = C_{r + k}^{k} {(1 - p)}^{r} p^{k}$ ， $k = 0, 1, 2, \dots$ D、若 $P (X = k)$ 最大，则 $\frac{r p - 1}{1 - p} \leq k \leq \frac{r p - 1}{1 - p} + 1$ ， $k = 0, 1, 2, \dots$

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20、已知 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，若函数 $y = f^{'} (x) - 1$ 的图象大致如图所示，且 $f (1) = 1$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $f (x)$ 有2个极大值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 3)$ 单调递增 D、 $f (2) > 2$

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	认真上网课	不认真上网课	合计
男生	5	20	25
女生	15	10	25
合计	20	30	50

$Z_{1}$	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2	2.2	2.4	2.6
$Φ (Z_{1})$	0.841	0.885	0.919	0.945	0.964	0.977	0.986	0.992	0.995

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828

氨基酸	春季	夏季
含量高	30	20
含量低	15	25

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828