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相关试卷

1、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，其中 $F_{2}$ 到其渐近线的距离为1．

(1)、求双曲线 $Γ$ 的标准方程：

(2)、若点P是双曲线 $Γ$ 在第一象限的动点，双曲线 $Γ$ 在点P处的切线 $l_{1}$ 与x轴相交于点T．
（i）证明：射线 $P T$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线；
（ii）过坐标原点O的直线 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 垂直，与直线 $P F_{1}$ 相交于点Q，求 $\begin{matrix} △ \end{matrix} Q F_{1} F_{2}$ 面积的取值范围．

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 和等差数列 $\{b_{n}\}$ ，满足 $a_{n + 1} > a_{n}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $3 a_{3} = 4 b_{3}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，数列 $\{\frac{T_{n}}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $P_{n}$ ．证明： $P_{n} < \frac{2^{n + 1}}{n + 1} - 1$ ．

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ， $A A_{1} = 2$ ， E，F分别是 $A C$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是线段 $E F$ 上的动点．

(1)、当P是线段 $E F$ 的中点时，求点P到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(2)、当平面 $P C C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{9 \sqrt{145}}{145}$ 时，求 $E P$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线与二次曲线 $y = a x^{2} + (2 a + 5) x - 2$ 只有一个公共点，求实数a的值．

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5、已知E，F是直角 $△ A B C$ 的外接圆上的两个动点，且 $|E F| = 8$ ， P为 $△ A B C$ 的边上的动点，若 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最大值为48，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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6、已知函数 $y = f (x + 2) - 1$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，则 $\sum_{i = 1}^{4051} f (i - 2024) =$ ．

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7、某工厂生产的一批零件的使用寿命X（单位：年）近似服从正态分布 $N (80, δ^{2})$ ．若 $P (60 \leq X \leq 100) = \frac{2}{3}$ ，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60的概率是．

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8、利用不等式“ $\ln x - x + 1 \leq 0$ ，当且仅当 $x = 1$ 时，等号成立”可得到许多与n（ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）有关的结论，则下列结论正确的是（）

A、 $ln n < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n - 1}$ B、 $ln n > \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n}$ C、 $(1 + 2) (1 + 4) \cdot \cdot \cdot (1 + 2^{n}) > e \cdot 2^{\frac{n (n + 1)}{2}}$ D、 $1 + 2^{n} + \cdot \cdot \cdot + n^{n} < \frac{e}{e - 1} \cdot n^{n}$

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9、已知平面 $α$ ， $β$ ，直线 $a, b$ ，若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = a$ ， $b$ 与 $α$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $α$ 内垂直a的直线必垂直于 $β$ B、 $α$ 内的任意直线必垂直于 $β$ 内的无数条直线 C、b与 $β$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、b与 $α$ 内的任意一条直线所成的角大于等于 $\frac{π}{6}$

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10、定义函数集 $A = \{h (x) ∣ h (x) = f_{i} (x) \otimes f_{j} (x), 1 \leq i, j \leq 4, l, j \in N^{+}, 且 i \neq j, 其中 \otimes 为加、减、乘、除四种运算\}$ ．已知函数 $f_{1} (x) = x$ ， $f_{2} (x) = \frac{1}{x}$ ， $f_{3} (x) = \sqrt{2} e^{x}$ ， $f_{4} (x) = \sqrt{2} ln x$ ．若函数 $g (x) \in A$ ，则在 $g (x)$ 为奇函数的条件下， $g (x)$ 存在单调递减区间的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{1}{6}$

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11、已知 $cos (\frac{θ}{2} + \frac{π}{3}) cos (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $cos (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， “ $a_{2024} = 0$ ”是“ $S_{n} = S_{4047 - n} (n < 4047, n \in N^{*})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为 $y = y_{0} \cdot e^{\frac{t}{2} ln 0.8}$ ， $y_{0}$ 为初始量．则该塑料经自然降解，残留量不超过初始量的50%．至少需要（）年（精确到年）．（参考数据： $lg 2 \approx 0.301$ ）

A、5 B、6 C、7 D、8

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14、已知复数z满足 $|z + 2 - i| = 0$ ，其中i是虚数单位，则 $\bar{z} \cdot z =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、5

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15、 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{3}$ 的展开式的常数项为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、4

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16、已知集合 $A = \{x | x < 1\}$ ， $B = \{y | y = lg x\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $R$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1)$

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17、如图所示，长方形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 翻折到 $△ P A M$ ，连接 $P B, P C$ ，得到图的四棱锥 $P - A B C M$ ．

(1)、求四棱锥 $P - A B C M$ 的体积的最大值；

(2)、若棱 $P B$ 的中点为 $N$ ，求 $C N$ 的长；

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18、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\sin x, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, \sin (\frac{π}{3} - x))$ ， $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) - 1 \leq m$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、《九章算术·商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马 $P - A B C D$ ，如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 1$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $A B$ ， $B C$ 上，则当空间四边形 $P E F D$ 的周长最小时，直线 $P A$ 与平面 $P F D$ 所成角的正切值为.

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点 $P$ 为线段 $A A_{1}$ 上的一动点，则（）

A、三棱锥 $B_{1} - P B C_{1}$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、当 $\vec{A_{1} P} = \vec{P A}$ 时，直线 $P C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、直线 $P B$ 与直线 $A C$ 所成角的余弦值可能为 $\frac{5}{8}$ D、 ${(B P + D P + 2 P C_{1})}^{2}$ 的最小值为 $64 + 32 \sqrt{2}$

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