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相关试卷

1、 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $b = 4$ ， $c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积 $S$ 满足 ${(b + c)}^{2} - a^{2} = 4 \sqrt{3} S$ .若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ .则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $S = 10 \sqrt{3}$ C、 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} = - \frac{9}{2}$ D、 $λ + μ = \frac{13}{20}$

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2、点 $O, G, P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的点，且有 ${|\vec{O A}|}^{2} + {|\vec{B C}|}^{2} = {|\vec{O B}|}^{2} + {|\vec{C A}|}^{2} = {|\vec{O C}|}^{2} + {|\vec{A B}|}^{2}$ ， $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ， $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{P B} + \vec{P C}) \cdot \vec{B C} = (\vec{P C} + \vec{P A}) \cdot \vec{C A} = 0$ ，则点 $O, G, P$ 分别为 $△ A B C$ 的（）

A、垂心，重心，外心 B、垂心，重心，内心 C、外心，重心，垂心 D、外心，垂心，重心

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3、已知圆 $M : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设不经过点 $Q (0, \sqrt{3})$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $Q A$ 与直线 $Q B$ 的斜率均存在且斜率之和为 $- 2$ ，直线 $A B$ 是否过定点，若过定点，写出定点坐标．

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4、随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量 $y_{i}$ (万件) $(i = 1, 2, 3, 4, 5)$ 的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为 $x_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ ，如： $x_{1} = 1$ 表示6月份.

(1)、根据散点图判断，模型① $y = a + b x$ 与模型② $y = c + d x^{2}$ 哪一个更适宜作为月销售量 $y$ 关于月份代码 $x$ 的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、（i）根据（1）的判断结果，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}},$ $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} .$ $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2} = 979$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 80.8,$ $\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i} = 335.6$ ，其中 $t_{i} = x_{i}^{2}$ .

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5、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是正方形， $P A = A B = 2$ ，点E是棱PC上一点.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面BDE；

(2)、当E为PC中点时，求 $A - B E - D$ 所成二面角锐角的大小.

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6、在 $△ A B C$ 中， $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且满足 $a \sin B = b \sin 2 A$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、点 $D$ 在线段AC的延长线上，且 $∠ A B D = \frac{π}{2}$ ，若 $a = 2, B D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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7、如图所示，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于 $A ， B$ 两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G， $\vec{A B} = 2 \vec{B F}$ ，且三点 $A ， O ， G$ 共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．

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8、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，P是直线 $A_{1} D$ 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

A、 $B P$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ B、 $P A + P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ C、三棱锥 $B_{1} - A C D_{1}$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ D、以点 $B$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面与平面 $A B_{1} C$ 的交线长 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $x \in [0, 1]$ ， $f (x) = x^{2} + x$ ，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、4是函数 $f (x)$ 的周期 C、 $f (2023) + f (2024) = 0$ D、方程 $f (x) = |\ln x|$ 恰有4个不同的根

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10、如图为函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图象，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, 0)$ 成中心对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 后关于 $y$ 轴对称

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11、油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为 $60^{\circ}$ 时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $7 - 2 \sqrt{3}$ C、 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3} - 5$

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12、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $ξ 、 η$ 满足 $η = 2 ξ - 1$ 且 $D (ξ) = 3$ ，则 $D (η) = 12$ B、已知随机变量 $X$ ～ $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 2, D (X) = 1$ ，则 $p = \frac{1}{2}$ C、若事件 $A 、 B$ 相互独立，则 $P (A |B) = P (A)$ D、若 $A 、 B$ 两组成对数据的相关系数分别为 $r_{A} = 0.95$ 、 $r_{B} = - 0.98$ ，则 $A$ 组数据的相关性更强

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比不为1，若 $a_{1} = 2$ ，且 $3 a_{1}, a_{2}, - a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2 \times 3^{n - 1}$ B、 $3^{n}$ C、 $2 \times {(- 3)}^{n - 1}$ D、 ${(- 3)}^{n}$

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14、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点到其准线的距离与到直线 $y = x + 3$ 的距离之和的最小值为（）．

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、5

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15、复数 $\frac{1 - 2 i}{3 - i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知函数 $f (x) = x \ln x - x - a$ ， $g (x) = x^{2} + \ln x - a x$ ．

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) + 2 x \leq g (x)$ 对任意的 $x \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1 (m > 1)$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，且点 $P$ 不在直线 $F_{1} F_{2}$ 上，则“ $m > 6$ ”是“ $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长大于 $12$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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18、方程 $x^{2} + y^{2} - 4 y + m = 0$ 表示一个圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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19、双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接 $P F_{1}$ 交左支于点Q.若 $|P F_{2}| = |P Q|$ ，且 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = 6 S_{△ O F_{1} Q}$ ，则双曲线的离心率为.

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20、如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥 $S - A B C D$ ，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点 $S$ 出发，再次回到顶点 $S$ 时停止爬行.

(1)、求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点 $S$ 的概率；

(2)、在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及其数学期望 $E (ξ)$ ；

(3)、设电子蛐蛐爬行 $n (n \geq 2)$ 米后恰好停止爬行（首次回到顶点 $S$ ）的概率记为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ （用 $n$ 表示）.

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