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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是正三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $\vec{A O} = 2 \vec{O E}$ ．

(1)、求证： $O$ 为三棱锥 $A - B C D$ 外接球的球心；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $∠ B C D = 60 °$ ， $\vec{B G} = λ \vec{B D}$ ，求平面 $A E G$ 与平面 $A C D$ 所成锐二面角的余弦值最大时 $λ$ 的值．

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2、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (2, - 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 4)$ ．

(1)、求 $|2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、求向量 $\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 夹角的余弦值．

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3、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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4、已知 $a \in R$ ，若 $z = \frac{a + i}{2 i - 1}$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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5、函数 $f (x) = x \sin x + \cos x$ 在区间 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 上的最小值为（）

A、 $- \frac{3 π}{2}$ B、0 C、 $- \frac{7 π}{4}$ D、 $- \frac{3 π}{4}$

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6、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(c - \sqrt{2} b) \cos A + a \cos C = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $b + c = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且外接圆直径为 $2 \sqrt{2}$ ，求角 $B$ 取何值时， $\frac{2 b^{2} + 3 a^{2}}{2 b}$ 有最小值，并求出最小值.

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7、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}], {[f (x)]}^{2} - m f (x) - 1 \leq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，E为线段 $A B$ 的中点， $P A = A B = 2$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、求点E到平面 $P B D$ 的距离．

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9、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ ，且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1, {\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}, \vec{m} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{n} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$

(1)、求证： $(2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}) ⊥ \vec{e_{2}}$

(2)、若 $|\vec{m}| = |\vec{n}|$ ，求 $λ$ 的值；

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10、赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），若 $D F = 2 A F$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ .

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11、已知 $cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{2}{5}$ ，则 $sin (\frac{5 π}{6} + 2 α) =$ .

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12、若复数z满足 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ .

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13、如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥 $P - A B C D$ ，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是 $\frac{1}{2}$ ，公共面 $A B C D$ 是一个边长为1的正方形，则（）

A、该几何体的体积为 $\frac{2}{3}$ B、直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、异面直线 $A P$ 与 $C C_{1}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上

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14、如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $2$ ， $P$ 、 $Q$ 为正八边形内的点（含边界）， $\vec{P Q}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $λ \vec{A B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A G} = - 2 \sqrt{2}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A E} = 4$ C、 $λ$ 的最大值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A P} \in [- 2 \sqrt{2}, 4 + 2 \sqrt{2}]$

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15、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ，若把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上有3个零点

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = 60 °$ ， $b = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{26 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$

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17、已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{16 \sqrt{5} π}{3}$ C、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ D、 $\frac{20 π}{3}$

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $cos B = 1 - \frac{b^{2}}{2 a c}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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19、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若 $A^{'} C^{'} = 2 cm$ ，且 $S_{△ A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{\sqrt{3}}{2} {cm}^{2}$ ，则原图形中 $A C$ 边上的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} cm$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2} cm$ C、 $\sqrt{3} cm$ D、 $\sqrt{6} cm$

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20、 $sin 20^{\circ} cos 40^{\circ} + cos 20^{\circ} cos 50^{\circ}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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