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相关试卷

1、某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布 $N (6.40, {0.05}^{2})$ ，则 $P (6.25 \leq ξ \leq 6.45) \approx$ ．（精确到0.01）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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2、二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若 $X \sim B (n, p)$ ，则 $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ .多项分布是二项分布的推广，同样是重复 $n$ 次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有 $m$ 种，记这 $m$ 种结果为事件 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ ，它们的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}$ ，则 $p_{i} \geq 0, p_{1} + p_{2} + \dots + p_{m} = 1$ .现考虑某厂生产的产品分成一等品 $A_{1}$ ､二等品 $A_{2}$ ､三等品 $A_{3}$ 和不合格品 $A_{4}$ ，它们出现的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ ，从该厂产品中抽出 $n$ 个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.

(1)、若从该厂产品中抽出4个，且 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 和 $p_{4}$ 分别为 $0.15, 0.70, 0.10$ 和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；

(2)、现从该厂中抽出 $n$ 个产品，记事件 $A_{i}$ 出现的次数为随机变量 $X_{i}, i = 1, 2, 3, 4$ .为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件 $B = \{X_{1} = k_{1}, X_{2} = k_{2}, X_{3} = k_{3}, X_{4} = k_{4}\}$ 的概率，其中 $k_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 为非负整数， $k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{3} = n$ .
（i）求 $P (B)$ ；
（ii）对于上述多项分布，求在给定 $X_{2} = k_{2}$ 的条件下，随机变量 $X_{1}$ 的数学期望.

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3、已知函数 $f (x) = a x e^{x - 1} - x - ln x$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $M (1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最大值 $g (a)$ 的表达式；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $\frac{sin (2 A + B)}{sin A} - 2 cos (A + B) = \frac{a + c}{b}$ .

(1)、证明： $b^{2} - a^{2} = a c$ ；

(2)、求 $cos A + \frac{a}{b}$ 的最小值.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 为等边三角形， $A B = 2, E ､ F$ 分别为 $A D ､ B C$ 的中点， $E G ⊥ P F$ ，垂足为 $G$ .

(1)、证明： $E G ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $cos ∠ P A B = - \frac{3}{4}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 形成的锐二面角的余弦值.

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6、某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组： $[2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10), [10, 12]$ ，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；

(2)、用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自 $[6, 8)$ 这组的概率.

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7、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥ A B, B D ⊥ A B$ ，且 $A C = B D = 10, A B = 3$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的外接球表面积的取值范围为 $[\frac{661}{4} π, 409 π]$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的取值范围为.

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8、若 ${(2 x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ .

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9、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，集合 $B = {x \in R ∣ - 1 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ .

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $4 cos B + 3 sin B + 4 sin (C - A) = 9, A C = 6$ ，则（）

A、 $A > B$ B、 $A B = 2 B C$ C、 $△ A B C$ 的外接圆直径为 $10$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $12$

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11、投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件 $A$ ， “第二次正面向上”为事件 $B$ ， “至少有一次正面向上”为事件 $C$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (B ∣ C) = \frac{2}{3}$ . D、 $P (C) = P (A) + P (B) - P (A B)$

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12、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，（）

A、 $A C ⊥ B D_{1}$ B、直线 $B D_{1}$ 与 $C D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ C、 $A_{1} C_{1}$ $//$ 平面 $A B_{1} C$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$

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13、已知当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = 3^{x} - 3$ ，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且有 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，则 $f ({log}_{3} 300)$ 所在的区间是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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14、高二某班男生20人，女生30人，男､女生身高平均数分别为 $170 cm 、 160 cm$ ，方差分别为170､160，记该班全体同学身高的平均数为 $\bar{X}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{X} > 165, s^{2} > 165$ B、 $\bar{X} < 165, s^{2} > 165$ C、 $\bar{X} > 165, s^{2} < 165$ D、 $\bar{X} < 165, s^{2} < 165$

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15、已知随机变量 $X \sim N (1, 4)$ ，且 $P (X \geq a) = P (X \leq 0.2) = 0.1$ ，则 $P (\frac{a}{9} < X < 1) =$ （）

A、0.4 B、0.2 C、0.8 D、0.1

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16、函数 $f (x) = \frac{ln |x| cos x}{x}$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知函数 $f (x) = cos (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ ，则能使函数 $f (x)$ 单调递增的区间为（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{3 π}{4}, π]$

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18、已知 $x$ 是实数，则“ $x + \frac{1}{x} \geq \frac{5}{2}$ ”是“ $x \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3 - x, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、11 B、 $- 11$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $- \frac{11}{2}$

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20、已知复数 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = - 1 + 2 i$ ，则 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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