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相关试卷

1、已知函数 $f (x), g (x), h (x)$ 的定义域均为 $R$ ．定义：①若存在 $n$ 个互不相同的实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，使得 $f (g (x_{i})) = h (f (x_{i})) (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ “ $n$ 维交换”；②若对任意 $x \in R$ ，恒有 $f (g (x)) = h (f (x))$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ “任意交换”．

(1)、判断函数 $g (x) = x + 1$ 与 $h (x) = x - 1$ 是否关于 $f (x) = x^{2}$ “ $n$ 维交换”，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = a (x^{2} + 2) (a \neq 0), g (x) = x^{2} + b x - 1$ ，若存在函数 $h (x)$ ，使得 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ “任意交换”，求 $b$ 的值；

(3)、设 $g (x) = k | x^{2} - 2 x |, h (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ x^{2} - 1, x < 0 \end{array}$ ，若 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x) = x$ “3维交换”，求实数 $k$ 的值．

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2、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = 9$ ，其余各棱的长均为6，点 $E$ 在棱 $A C$ 上， $A E = 2 E C$ ，过点 $E$ 的平面与直线 $C D$ 垂直，且与 $B C, C D$ 分别交于点 $F, G$ ．

(1)、求线段 $F G$ 的长度；

(2)、求二面角 $A - C D - B$ 的余弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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3、已知实数 $a < 0$ ，设函数 $f (x) = {cos}^{2} x + a sin 2 x - a^{2}$ ，且 $f (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$ ．

(1)、求实数 $a$ ，并写出 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个零点，求 $cos 2 x_{0}$ ．

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4、如图，点 $P, Q$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $D C, B C$ 上的点， $A B = 2, A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{B Q} = λ \vec{B C}, 0 \leq λ \leq 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的取值范围；

(2)、若 $P$ 是 $D C$ 的中点， $M_{1}, M_{2}, \cdot \cdot \cdot, M_{2024}$ 依次为边 $A B$ 的2025等分点．求 $|\vec{P A} + \vec{P M_{1}} + \vec{P M_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \vec{P M_{2024}} + \vec{P B}|$ 的值．

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5、设函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用定义证明结论；

(2)、若 $x \in [\frac{1}{2}, 3]$ ，求函数 $g (x) = \frac{f (x^{2})}{f^{2} (x)}$ 的值域．

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6、一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为 $6 \sqrt{3}$ 的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为．

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7、已知 $x + ln y = 1$ ，则 $e^{x} + y$ 的最小值为．

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8、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{- a, a^{2} + 3\}$ ．若 $A \cup B = \{1, 2, 4\}$ ，则实数 $a =$ ．

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 以坐标原点 $O$ 为顶点，以 $x$ 轴的非负半轴为始边，其终边经过点 $P (a, b), |O P| = m (m \neq 0)$ ，定义函数 $f (θ) = \frac{a + b}{m}$ ，则（）

A、 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $y = f (θ)$ 的一条对称轴 B、函数 $y = f (θ) f (- θ)$ 是周期为 $π$ 的函数 C、 $f (θ) + f^{2} (θ) \leq 2 + \sqrt{2}$ D、若 $a = 2 b$ ，则 $\frac{1 + f (2 θ)}{1 - f (- 2 θ)} = 2$

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10、如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为 $α, β (α < β)$ ，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（）

A、每一个直角三角形的面积为1 B、 $sin α = 2 sin β$ C、 $cos α = 2 cos β$ D、 $cos (α - β) = \frac{4}{5}$

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11、已知 $a > b$ ，则（）

A、 ${0.1}^{a} > {0.1}^{b}$ B、 $10^{a} > 10^{b}$ C、 $a^{4} + b^{4} < a b^{3} + a^{3} b$ D、 $ln (\sqrt{a^{2} + 1} - a) < ln (\sqrt{b^{2} + 1} - b)$

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12、已知 $sin θ, cos θ$ 是方程 $x^{2} - 2 sin α \cdot x + {sin}^{2} β = 0$ 的两个实根，则 $\frac{\cos 2 β}{\cos 2 α} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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13、在某种药物实验中，规定 $100 ml$ 血液中药物含量低于 $20 mg$ 为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为 $0.8 mg / ml$ ，若血液中药物含量会以每小时 $20 %$ 的速度减少，那么至少经过（）个小时才会“药物失效”．（参考数据： $lg 2 \approx 0.3010$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、为了得到函数 $f (x) = sin 2 x$ 的图象，可以把 $g (x) = cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ．若 $b = 2, A = 45 °, C = 75 °$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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16、已知 $a > 0, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $|a| > |b|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知 $α, β$ 表示两个不同的平面， $a, b, c$ 表示三条不同的直线，（）

A、若 $b / / a, a \subset α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a \subset α, b \subset α, c ⊥ a, c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ C、若 $a \subset α, b \subset α, a / / β, b / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $a ⊥ α, a / / b, b \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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18、已知向量 $\vec{a} = (k - 1, 1), \vec{b} = (k + 3, k)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $- 1$ C、 $3$ 或 $- 1$ D、 $\frac{- 3 \pm \sqrt{21}}{2}$

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19、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位， $i^{2} = - 1$ ），则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、 $\pm 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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20、正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质： $V + F - E = 2$ （其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．

(1)、正十二面体共有几条棱，几个顶点？

(2)、如图所示的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $G, H, I, J, K, L$ 为正方体六个面的中心，假设几何体 $G H I J K L$ 的体积为 $V_{1}$ ，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值；

(3)、判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．

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