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相关试卷

1、 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ A B P = 45 °, ∠ P B C = ∠ P C B = ∠ A C P = 30 °$ ，则 $\tan ∠ B A P =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，且 $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{O A} = \vec{0}$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{O A}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{O A}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{O A}$ D、 $\vec{O A}$

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3、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{200}$ 的平均数为 $14$ ，样本数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{600}$ 的平均数为 $a$ ，若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{200}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{600}$ 的平均数为 $a + 1$ ，则 $a =$ （）

A、12 B、10 C、2 D、11

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4、一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在 $[0.2, 0.8)$ 内的频率为0.75，则样本中的数据在 $[0.4 ， 0.8)$ 内的个数为（）

A、225 B、295 C、235 D、305

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5、如图所示， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}, \vec{D C} = 4 \vec{D H}$ ，则 $\vec{B H} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{7}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{3}{5} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{6} \vec{B C}$

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6、已知在 $R$ 软件的控制台中，输入“ $sample (1 : 20, 4$ ， $replace = F$ ）”，按回车键，得到的4个1~20范围内的不重复的整数随机数为 $12, 6, 10, 4$ ，则这4个整数的标准差为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{10}$ C、40 D、10

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7、为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8、命题“ $\forall x \in [1, 2], x^{2} - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a \leq 5$ D、 $a \geq 5$

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9、给出下列命题：
①“ $a = 2$ ”是“ $\{1, a\} \subseteq \{1, 2, 3\}$ ”的充分非必要条件；
②“函数 $y = {cos}^{2} a x - {sin}^{2} a x$ 的最小正周期为 $π$ ”是“ $a = 1$ ”的充要条件；
③“平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角”的充要条件是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”.
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）

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10、焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $2 \sqrt{15}$ ，且经过点 $(- 4, 0)$ 的椭圆的标准方程为.

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11、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ．如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C 1$ 中，点A的曲率为 $\frac{2 π}{3}$ ， N，M分别为AB， $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C$ ．

(1)、证明： $C N ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(2)、证明：平面 $A M B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(3)、若 $A A_{1} = 2 A B$ ，求二面角 $A - M B_{1} - C_{1}$ 的正切值．

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12、中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， $A A_{1}$ 垂直于底面， $A A_{1} = 5$ ，底面扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，弧 $A D$ 的长度是弧 $B C$ 长度的3倍， $C D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、弧 $A D$ 长度为 $\frac{3}{2} π$ B、曲池的体积为 $\frac{10 π}{3}$ C、曲池的表面积为 $20 + 14 π$ D、三棱锥 $A - C C_{1} D$ 的体积为5

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13、如图，一架高空侦察飞机以 $600 m/s$ 的速度在海拔 $16000 m$ 的高空沿水平方向飞行，在 $A$ 点处测得某山顶 $M$ 的俯角为 $45^{\circ}$ ，经过 $15 s$ 后在 $B$ 点处测得该山顶的俯角为 $75^{\circ}$ ，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（）（ $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、 $2436 m$ B、 $3706 m$ C、 $3200 m$ D、 $3146 m$

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14、已知函数 $f (x) = a \ln (x + 1) - x e^{x + 1}$ .

(1)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在正零点 $x_{0}$ ，
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）记 $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的极值点，证明： $x_{0} < 3 x_{1}$ .

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15、已知当 $x > 0$ 时， $e^{x \ln x} - x \ln x \geq a$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(1, e^{2}]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[e, + \infty)$

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16、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是每天的“进步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${1.01}^{365} \approx 37.7834$ ；而把 ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是每天的“退步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${0.99}^{365} \approx 0.0255$ ．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的 $\frac{{1.01}^{365}}{{0.99}^{365}} \approx 1482$ 倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（）（参考数据： $lg 101 \approx 2.0043, lg 99 \approx 1.9956, lg 2 \approx 0.3010$ ）

A、70天 B、80天 C、90天 D、100天

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17、“ $m = - 1$ 或 $m = 4$ ”是“幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m^{2} + m - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（）．

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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19、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $\tan C = \frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B}$

(1)、求 $2 a + b$ 的取值范围

(2)、求 $△ A B C$ 内切圆的半径的最大值

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20、牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 $θ_{1}^{\circ} C$ ，环境温度为 $θ_{0}^{\circ} C$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $^{\circ} C$ ）满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ .已知环境温度为 $20^{\circ} C$ ，一块面包从温度为 $120^{\circ} C$ 的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为 $70^{\circ} C$ ，那么大约再经过多长时间，温度降为 $30^{\circ} C$ ？（参考数据： $ln 2 \approx 0.7, ln 3 \approx 1.1, ln 5 \approx 1.6$ ）（）

A、33分钟 B、28分钟 C、23分钟 D、18分钟

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