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相关试卷

1、已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，且对于平面 $A B C$ 外一点 $O$ ，满足 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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2、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且过点 $A (- 2, 0)$ ，直线 $l$ 与椭圆交于 $P$ ， $Q$ 两点且不过原点．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若 $A P ⊥ A Q$ ，求证：直线 $l$ 经过定点，并求出定点的坐标；

(3)、若直线 $O P$ ， $P Q$ ， $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，且 $k_{2}^{2} = k_{1} k_{3}$ ，求 $△ O P Q$ 面积的取值范围．

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3、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右支上一点 $P$ 在第一象限， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点， $Q$ 为△ $P F_{1} F_{2}$ 的内心，若内切圆 $Q$ 的半径为1，则直线 $P F_{1}$ 的斜率等于.

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4、双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的右焦点到其一条渐近线的距离是．

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5、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x = k y + \frac{p}{2}$ 与抛物线 $C$ 交于点 $M, N (M$ 在 $x$ 轴上方）， $O$ 为坐标原点， $| O F | = \frac{3}{2}, | N F | = 2$ .则（）

A、 $p = 3$ B、 $k = \sqrt{3}$ C、 $△ M O F$ 与 $△ N O F$ 面积之比为3 D、 $△ M N O$ 面积为 $3 \sqrt{3}$

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6、如图， $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上异于顶点的一点， $F (- c, 0) 、 A (a, 0)$ 分别是椭圆 $C$ 的左焦点和右顶点．过点 $P$ 分别向 $x$ 轴和直线 $l : x = - \frac{a^{2}}{c}$ 作垂线，垂足分别为 $M, N$ ．记直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $H, O$ 为坐标原点，则下列比值与 $\frac{| O F |}{| O A |}$ 相等的是（）

A、 $\frac{| O A |}{| O H |}$ B、 $\frac{| A F |}{| A H |}$ C、 $\frac{| M P |}{| M A |}$ D、 $\frac{| P F |}{| P N |}$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{B F_{2}} = 2 \vec{F_{2} A}, B F_{1} ⊥ A B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8、长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线 $3 x - 4 y - 10 = 0$ 距离的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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10、已知 $\tan α = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin 2 α + 2 \cos 2 α}{4 \cos 2 α - 4 \sin 2 α} =$ （）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $- \frac{1}{14}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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11、已知 $\frac{z}{1 + 2 i} = - 1 + 3 i$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本： $(10 x + \frac{x^{2}}{10})$ 万元，x为每月生产人形机器人的个数.

(1)、该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元?

(2)、若每个人形机器人的售价为 $(23 + \frac{x}{5})$ 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润 $=$ 售价 $\times$ 销量 $-$ 成本.

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13、设 $x_{1}, x_{2}$ 是关于x的方程： $x^{2} - 2 (m + 2) x + m^{2} - 1 = 0$ 的两个实数根、

(1)、若 $m = 5$ ，求 $x_{1}, x_{2}$ ；

(2)、若 $x_{1}, x_{2}$ 是两个不相等的正数，求实数m的取值范围.

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14、若 $t + 1 > 0$ ，则 $\frac{1}{t + 1} + \frac{t}{4}$ 的最小值为.

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15、不等式 $\frac{3 x - 1}{x - 2} < 1$ 的解集为.

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16、已知集合 $M = \{x ∣ x = a^{2} - b^{2}, a \in Z, b \in Z\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、所有的奇数都是 $M$ 中的元素 B、所有的偶数都是 $M$ 中的元素 C、如果 $x \in M, y \in M$ ，那么 $x y \in M$ D、如果 $x \in M, y \in M$ ，那么 $x + y \in M$

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17、已知集合 $A = \{x |x = \frac{8 - n}{n} \in N$ ，且 $n \in N^{*}\}$ ，则 $A$ 的非空子集的个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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18、设集合 $A = {x ∣ 0 < x \leq 2} ， B = \{x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\} ，$ 则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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19、“ $x - 2 > y$ ”是“ $x > y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、下列各选项正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $\emptyset = \{0\}$ C、 $\emptyset \subseteq \{0\}$ D、 $0 = \{0\}$

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