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相关试卷

1、已知 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（　　）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ （ $c \neq 0$ ）

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2、已知集合 $B$ 满足 $\{2, 5\} \subseteq B \subseteq \{0, 1, 2, 5\}$ ，则集合 $B$ 的个数为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $5$

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3、命题“ $\exists x < 2, x^{2} - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x < 2, x^{2} - 2 > 0$ B、 $\exists x \geq 2, x^{2} - 2 > 0$ C、 $\forall x < 2, x^{2} - 2 \leq 0$ D、 $\forall x \geq 2, x^{2} - 2 > 0$

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4、设全集 $A = \{x \in N ∣ x < 3\}, B = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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5、已知下列不等式：（i） $|x - a| < 3$ ；（ii） $\frac{x + 10}{x + 4} \geq 2$ ；（iii） $(a^{3} + \frac{a}{3}) x^{2} - (a^{2} + a + \frac{1}{3}) x + 1 > 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求这三个不等式的解集的交集．

(2)、若 $a \in R$ ，解（ⅲ）这个不等式；

(3)、存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的 $x$ ，且这些 $x$ 使不等式（ⅲ）不成立，求 $a$ 的取值范围．

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6、数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本： $(10 x + \frac{x^{2}}{10})$ 万元．x为每月生产人形机器人的个数．

(1)、该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？

(2)、若每个人形机器人的售价为 $(23 + \frac{x}{5})$ 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？
附：利润=售价×销量-成本．

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7、已知实数x，y满足 $0 \leq 2 x + y \leq 3$ ， $- 2 \leq x - y \leq 1$ ，则 $4 x + 5 y$ 的取值范围是．

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8、已知 $x > 1$ ，则 $\frac{x^{2} - 3 x + 6}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、集合 $A = \{x| - 1 < x \leq 4\}$ ， $B = \{- 1, 1, 3\}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、{ $- 1$ ， 1，3} B、{1，3} C、{0，1，2，3，4} D、 $(- 1, 4]$

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10、下列各式中关系符号运用正确的是（）

A、 $1 \in \{0, 1, 2\}$ B、 $\emptyset \notin \{0, 1, 2\}$ C、 $\{4\} \subseteq \{2, 0, 1\}$ D、 $\{1\} \in \{0, 1, 2\}$

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11、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n}} + 3^{n} + 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - \frac{3^{n}}{2}\}$ 是等差数列；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = \frac{4}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $P$ 到 $C$ 的两个焦点 $F_{1} (- 2 \sqrt{2}, 0), F_{2} (2 \sqrt{2}, 0)$ 的距离之和为 $4 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l : y = \frac{1}{3} x + m$ 与 $C$ 相交于A，B两点，若 $|A B| = 5$ ，求 $m$ 的值.

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13、已知样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，则成对样本数据 $(0, 0)$ ， $(1, - 1)$ ， $(2, 3)$ ， $(3, 5)$ ， $(4, 3)$ 的相关系数为.

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14、若 $a = 2024^{0.2025}$ ， $b = \log_{2024} \frac{1}{2025}$ ， $c = \sin \frac{1}{2025}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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15、若将一个表面积为 $36 π {cm}^{2}$ 的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（）

A、2cm B、 $2 \sqrt{3} cm$ C、3cm D、 $3 \sqrt{2} cm$

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16、已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F (0, 1)$ ，过点 $P (- 2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当点 $P$ 为弦 $A B$ 的中点时，求直线 $A B$ 的方程；

(3)、求 $|A F| \cdot |B F|$ 的最小值．

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17、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{3} = a_{5} = 9$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，且 $b_{3}^{2} = b_{6}$ ， $b_{4} - b_{2} = 12$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ ， $\sin A = 2 \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
单位：人
满意程度
性别
合计
男生
女生
满意
120
不满意
150
合计
200
请补全上面的 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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20、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a b}$ 的最小值是.

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满意程度	性别		合计
满意程度	男生	女生	合计
满意	120
不满意			150
合计	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828