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相关试卷

1、已知 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ．若动点 $P$ 满足 $|P A| - |P B| = 2$ ，则 $P$ 的轨迹的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \leq - 1)$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$

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2、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = {x ∣ a < x < 2}$ ．若 $a \in Z$ ，且 $A \cap B = \{1\}$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, - 1)$ ．若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = 1, B C = 3, C D = 2, A C = \sqrt{5}, B C ⊥ P C,$ $P C = P D$ ，侧面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、证明： $B C / /$ 平面 $P A D$ ；

(3)、若直线 $B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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5、已知 $α$ 是第四象限角，且 $\tan α = - 2$ ，计算：
（1） $\frac{3 \sin (\frac{π}{2} - α)}{5 \sin (\frac{π}{2} + α) - \cos (\frac{π}{2} + α)}$ ；
（2） $\sin (π - α) \cdot \cos (π + α) + 3 \cos^{2} α$ .

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6、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B D$ 沿着 $A D$ 翻折，使得点 $B$ 到达 $B^{'}$ ，且平面 $A B^{'} D ⊥$ 平面 $A C D$ ，则当 $B^{'} C$ 最小时， $C D$ 的长度为.

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $B A_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所成角的大小为.

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8、如图，在棱长为1的正方体 $A C_{1}$ 中， $P$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点（含端点），则（）

A、 $C P //$ 面 $A_{1} B D$ B、 $A_{1} P$ 与 $BC$ 是异面直线 C、 $A_{1} P + P D$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为定值

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9、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值是3 B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值是0 C、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} + \vec{b}|$ 的最大值是 $2 \sqrt{5}$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值是4

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10、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {sin}^{2} x$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象对于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 单调递增 D、函数在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是 $[- 1, 2]$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若 $a = \sqrt{10}$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b \sin C$ ， $a \cos B + b \sin A = c$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{4}$ C、 $△ A B C$ 的面积为6 D、 $b = \sqrt{2}$

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12、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到 $x$ 轴距离为4， $∠ A C B = 90 °$ ，则a的值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、在 $Δ A B C$ 中， $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $A C = 3 A B$ ，则 $\sin C =$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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14、一个圆台的上、下底面的半径分别为 $1$ 和 $4$ ，体积为 $28 π$ ，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $29 \sqrt{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ．已知 $4 b sin B = a sin A, tan \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ ，则 $\frac{c}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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16、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{6} \vec{b}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$

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17、已知曲线 $C : |y| = \sqrt{x}$ ，点 $F_{0} (\frac{1}{4}, 0)$ ，曲线 $C$ 上一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}) (x_{1} > \frac{1}{4}, y_{1} > 0)$ ，直线 $F_{0} P_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $P_{0}$ .按照如下方式依次构造点 $P_{2 k - 1}, P_{2 k}, P_{2 k + 1}, F_{2 k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，过 $P_{2 k - 1}$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $F_{2 k - 1}$ ，垂线与 $C$ 的另一个交点为 $P_{2 k}$ .作直线 $P_{2 k - 2} F_{2 k - 1}$ ，与 $C$ 的另一个交点为 $P_{2 k + 1}$ ，直线 $P_{2 k} P_{2 k + 1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $F_{2 k}$ .记 $P_{n} (x_{n}, y_{n}), F_{n} (m_{n}, 0), m_{1} = m, (n = 0, 1, 2, 3, \dots)$ .

(1)、若 $P_{1} (1, 1)$ ，求 $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ；

(2)、求证：数列 $\{m_{n}\}$ 是等比数列，并用 $m$ 表示 $\{m_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、对任意的正整数 $k, △ P_{2 k - 2} P_{2 k - 1} F_{2 k - 1}$ 与 $△ F_{2 k - 1} P_{2 k} P_{2 k + 1}$ 的面积之比是否为定值？若是，请用 $m$ 表示该定值；若不是，请说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = ln \frac{x + 1}{1 - x} + a x^{3} - 2 x$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、对于点 $P (x_{0}, f (x_{0})), f (x)$ 在 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，若对任意 $x \in (- 1, 1)$ ，都有 $(x - x_{0}) [f (x) - g (x)] \geq 0$ ，则称 $P$ 为“好”点.当 $a = - \frac{2}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的“好”点 $P$ .（只要求写出结果，不需说明理由）

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19、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C_{1}, A B = B C = 2, B_{1} C_{1} = 1, D$ ， $E$ 分别是棱 $A C, B C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积大于2，且直线 $B C_{1}$ 与平面 $D E C_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求平面 $D E C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} E$ 所成角的余弦值.

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20、为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占 $\frac{5}{6}$ ；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占 $\frac{3}{5}$ .假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.

(1)、填写如下 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表及 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计

(2)、用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为 $X$ ，当 $P (X = k) (0 \leq k \leq 100, k \in N)$ 取最大值时，求 $k$ .
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）
参考数据：
$α$
0.1
0.05
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
7.879
10.828

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抗体	指标值		合计
抗体	小于60	不小于60	合计
有抗体
没有抗体
合计

$α$	0.1	0.05	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	7.879	10.828