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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， E的左顶点N到点 $M (1, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程．

(2)、过点M作斜率和为2的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与E交于A，B两点和C，D两点．
（i）若 $△ M N B$ （点B在点A的下方）的面积为 $\frac{5}{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；
（ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + n + 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列．

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n = 2 k - 1, \\ a_{n} + 2, n = 2 k, \end{array}$ $k \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{c_{i}} < \frac{3}{2}$ ．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D = A D = 2 A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $O$ 为 $A D$ 的中点， $A B ∥$ 平面 $P O C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ．

(2)、求三棱锥 $P - A B D$ 的外接球 $Q$ 的表面积．

(3)、若 $B D = B C$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值．

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4、已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} - 4 x (a > 0)$ ，函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为 $- 1$ 的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 的极小值大于0，求a的取值范围．

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5、某公司组织户外拓展活动，为探究员工参与该活动的积极性与员工的性别是否有关，对公司员工进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
参与户外拓展活动的积极性
性别
合计
女
男
积极参与
75
e
h
不积极参与
m
f
35
合计
100
g
200

(1)、求m，e，f，g，h；

(2)、在公司员工中任选1人，记事件A为“选到的员工是男性”，事件B为“选到的员工积极参与户外拓展活动”，估计 $P (B |\bar{A})$ 的值；

(3)、根据小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，能否认为是否积极参与户外拓展活动与性别有关?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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6、已知身高互不相同的6个人排成一排，记 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{6}$ 是对应站位为1，2，…，6的各人的身高数据的一个排列，则对任一组 $a_{i - 1} < a_{i}$ 和 $a_{i} > a_{i + 1}$ （ $i = 2, 3, 4, 5$ ），各组中的两个不等关系至少有一个成立的概率为．

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7、已知函数 $f (x) = \ln |\frac{a}{x} - b|$ （ $a \neq 0$ ， $a, b \in R$ ）的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，则 $a b =$ ．

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d = - 2$ ， $a_{4} = 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前5项和 $S_{5} =$ ．

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9、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与动圆 $M : x^{2} + {(y - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4} + 1 (m \in R)$ 恰有两个交点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的离心率为2 B、双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C、双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 $(1, 1)$ D、过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 $∠ A F B = 60^{\circ}$

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10、已知函数 $f (x) = \sin (x + α)$ ， $g (x) = \cos (x + β)$ ，则下列结论一定正确的有（）

A、若 $α = β$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的零点 B、若 $α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于y轴对称 C、若 $α - β = π$ ，则将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后，得到 $g (x)$ 的图象 D、若 $α - β = \frac{3 π}{2}$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的单调区间

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11、已知一批产品的某项质量指标 $X ~ N (18, σ^{2}) (σ > 0)$ ，且 $P (15 < X \leq 18) = 0.4$ ，现从该批产品中随机取4件产品，变量Y表示这4件产品的质量指标 $X \in (15, 21)$ 的产品件数，则（）

A、 $E (X) = 18$ B、 $P (Y = 1) = 0.0512$ C、 $P (X > 21) = 0.1$ D、 $D (Y) = 0.64$

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12、设函数 $f (x) = (e^{x + 2} - a) \ln (x - b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $\frac{a^{2}}{2} - b$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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13、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，过 $B_{1} C_{1}$ 的平面与AB，AC分别交于点E，F，且该平面将三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 分成体积相等的两部分，则 $\frac{A E}{E B} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a^{2} + c^{2} = b^{2} - \frac{8}{5} a c$ ，且AB边上的高等于 $\frac{3}{2} A B$ ，则 $\sin C =$ （）

A、 $\frac{6 \sqrt{13}}{65}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{27}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{20}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$

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15、已知 $7 sin α = 3 cos 2 α$ ，则下列四个点中，在角 $α$ 的终边上的可以是（）

A、 $(3, 1)$ B、 $(1, 2 \sqrt{2})$ C、 $(- 2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- 1, \frac{1}{3})$

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (m, 2)$ ，若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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17、已知复数z满足 $i^{5} \cdot z = 2 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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18、下列抛物线中，准线方程为 $y = - \frac{1}{8}$ 的是（）

A、 $y^{2} = \frac{1}{2} x$ B、 $y^{2} = \frac{1}{4} x$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = 4 x^{2}$

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19、已知集合 $M = \{x | - 1 < x < 3\}$ ， $N = \{x |x^{3} \geq 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[1, 3)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $[1, + \infty)$

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20、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = \ln x + x$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $h (x) = f (x) - a g (x)$ ，
（i）当 $a = 1$ 时，求函数 $h (x)$ 的最小值；
（ii）若 $h (x) = 0$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + x_{2} - 2} > \frac{1}{x_{1} x_{2}}$ .

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参与户外拓展活动的积极性	性别		合计
参与户外拓展活动的积极性	女	男	合计
积极参与	75	e	h
不积极参与	m	f	35
合计	100	g	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828