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相关试卷

1、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点， $G$ 为底面 $A B C D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时， $E F ⊥ C G$ B、若 $G$ 在线段 $B D$ 上运动，三棱锥 $A - G E F$ 的体积为定值 C、存在点 $G$ ，使得平面 $E F G$ 截正方体所得的截面面积为 $12 \sqrt{3}$ D、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球表面积为 $\frac{236 π}{9}$

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2、下面命题中是真命题的有（）

A、 $△ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4 C、函数 $f (x) = sin x + \frac{4}{sin x}$ 的最小值为4 D、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 a^{x} - 1, x \leq 1, \\ {log}_{a} x, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为 $[\frac{1}{2}, 1)$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $c = 3, b = 2, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{6}}{5}$ ，则 $B C$ 边上的高线 $A H$ 的长等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、2 D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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4、设点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ （ $a > 0$ ）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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5、设 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{| 1 - \sqrt{3} i |}{1 + i}$ 的共轭复数是

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $2 + i$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n}$ 是 $3 a_{n}$ 与 $- 3$ 的等差中项；数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1} = 1, b_{n} - b_{n - 1} = n (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{2 b_{n} - n}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < \frac{7}{4}$ ；

(3)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求 $T_{n}$ .

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7、如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为4，四边形 $A B E F$ 为矩形， $A F = 2$ ，点 $G$ 在 $E F$ 上，若三棱锥 $C - A B G$ 的四个顶点都在半径为 $\frac{\sqrt{129}}{4}$ 的球 $O$ 的球面上，则 $F G =$ .

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，满足线段 $P F_{2}$ 与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段 $P F_{2}$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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9、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n - 1} \cdot n$ ，则 $S_{17} =$ .

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10、（多选）物体运动方程为 $s (t) = 3 t^{2}$ （位移单位： $m$ ，时间单位： $s$ ），若 $v = \lim_{Δ t \to 0}$ $\frac{s (3 + Δ t) - s (3)}{Δ t} = 18 m / s$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $18 m / s$ 是物体从开始到 $3 s$ 这段时间内的平均速度 B、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的速度 C、 $18 m / s$ 是物体在 $3 s$ 这一时刻的瞬时速度 D、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的平均速度的极限值

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11、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = sin \frac{(n + 1) π}{2}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{18} =$ （）

A、0 B、18 C、10 D、9

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = n - 3$ ，若 $a_{4}, a_{6}, a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、9 B、12 C、15 D、18

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13、已知函数 $f (x) = ln x - a x + 1$ ，其中 $a \in R .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、①若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；
②证明： $3 + \frac{5}{2^{2}} + \frac{7}{3^{2}} + \dots + \frac{2 n + 1}{n^{2}} > 2 ln (n + 1)$ ，其中 $n \in N^{*} .$

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， M为 $B C$ 的中点．
（1）求证： $P B ⊥ A M$ ；
（2）求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 所成的角的余弦值．

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15、数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 5$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + n$ ，则 $a_{10}$ 等于.

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 1$ ， $a \in R$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 有极值点，则 $a \leq 0$ B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有一个零点 C、 $f (x) = 2 - f (- x)$ D、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上斜率为2的切线是直线 $y = 2 x - 1$

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17、已知点 $A (1, - 2) 、 B (2, 0) 、 C (3, - 3) 、 D (- 1, - 6)$ ，则（）

A、 $\vec{A B}$ $∥$ $\vec{A D}$ B、 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = 0$ D、 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$

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18、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 3)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得最大值 C、 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最小值

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19、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = - 3, S_{6} = 21$ ，则 $a_{1}$ 等于（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、5

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20、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6} = 3$ ， $S_{8} = 12$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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