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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $|z| = \sqrt{6}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 在复平面内对应的点可能是 $(2, \sqrt{2})$ B、 $z \cdot \bar{z} = 4$ C、 $z$ 的实部与虚部之积小于等于3 D、复数 $z_{1} = 1 + i$ ，则 $|z - z_{1}|$ 的最大值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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2、设角 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 满足 $\frac{1}{2 + \sin α_{1}} + \frac{1}{2 + \sin 2 α_{2}} = 2$ ，则 $|10 π - α_{1} - α_{2}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3、已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ $\sqrt{3}$ ＝ $\sqrt{3}$ tanBtanC，则△ABC的面积为 (　　)

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4、如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了（）（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.31$ ， $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

A、45.5km B、51.5km C、56.5km D、60.5km

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5、已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是（）

A、9.6 B、9 C、8.6 D、8

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6、圆锥 $S O$ 的底面圆半径 $O A = 1$ ，侧面的平面展开图的面积为 $3 π$ ，则此圆锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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7、已知 $f (x)$ 是在 $R$ 上单调递增的奇函数，则函数 $y = f (x) cos x$ 在 $[- 2, 2]$ 上的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8、若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{c}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、1 B、4 C、1或4 D、1或2

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9、已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a x^{3}}{12}$ ，其中常数 $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 4$ ，设 $g (x) = f (x) + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x + 1$ ，求证：函数 $g (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上有两个极值点.

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11、已知过点 $P (3, \sqrt{2})$ 的双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ .如图所示，过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 作与坐标轴都不垂直的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若双曲线 $C$ 上的点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 到其两条渐近线的距离分别为 $d_{1}, d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的值；

(3)、已知点 $Q (\frac{3}{2}, 0)$ ，求证： $∠ A Q F = ∠ B Q F$ .

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 上，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A D C = 90^{0}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q$ 为 $A D$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上的点， $P A = P D = 2$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $M Q B ⊥$ 平面 $P A D$

(2)、若二面角 $M - B Q - C$ 大小为 $30^{0}$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值

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13、 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a, b, c$ 成等比数列，且 $\cos B = \frac{3}{4}$ ．
（I）求 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}$ 的值；
（II）设 $\overset{⃑}{B A} \cdot \overset{⃑}{B C} = \frac{3}{2}$ ，求 $a + c$ 的值．

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14、如图所示，二面角 $α - l - β$ 为 $60^{\circ}$ ， $A, B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C, B D$ 分别在半平面内 $α, β$ ，且 $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则 $C D$ 的长．

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15、已知 $a > 1$ 且 $a^{{log}_{3} a} = 81$ ，则 $a =$ .

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16、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = b^{n} (b > 0)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、当 $b = 1$ 时， $S_{99} = 51$ B、当 $b > 1$ 时，数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $a_{3} > 0$ D、对任意 $b > 0$ ，存在 $λ \in R$ ，使得数列 $\{a_{n} - λ b^{n}\}$ 成等比数列

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17、下列说法正确的有（）

A、数据 $29, 30, 39, 25, 37, 41, 42, 32$ 的第75百分位数是40 B、若 $ξ \sim N (25, 4)$ ，则 $P (20 \leq ξ \leq 25) + P (ξ \geq 30) = \frac{1}{2}$ C、4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为 $C_{4}^{3}$ 种 D、 ${(1 - x)}^{8}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的二项式系数为56

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18、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线， $A$ 为其中一个切点，则 $|P A|$ 的取值范围为

A、 $[1, \sqrt{11}]$ B、 $[\sqrt{6}, 2 \sqrt{6}]$ C、 $[\sqrt{6}, \sqrt{22}]$ D、 $[\sqrt{2}, \sqrt{11}]$

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19、已知 $\sin (130 ° + α) = 2 \cos 20 ° \cos α$ ，则 $\tan (α + 45 °) =$ （）

A、 $- 2 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A$ 的最大值是 $($ $)$

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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