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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，则角 $C$ 的值是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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2、已知空间中三个不同的点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ C、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{C B}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - a \ln x + 1$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数．

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4、某工艺品如图所示分成 $A, B, C, D, E$ 五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（用数学作答）.

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4} = 4, S_{4} = 10$ ，则数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前2019项和为．

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6、已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f' (1) =$ .

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F,$ 经过点 $F$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °,$ 且直线 $l$ 交该椭圆于 $A, B$ 两点，若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、设直线 $y = t$ 与曲线 $y = x {(x - 3)}^{2}$ 的三个交点分别为 $A (a, t)$ 、 $B (b, t)$ 、 $C (c, t)$ ，且 $a < b < c$ .现给出如下结论：① $a b c$ 的取值范围是 $(0, 4)$ ；② $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 为定值；③ $c - a$ 有最小值无最大值.其中正确结论的个数为

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9、设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若 $\frac{S_{2020}}{S_{1010}}$ ＝3，则 $\frac{S_{3030}}{S_{1010}}$ ＝（）

A、9 B、7 C、5 D、4

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10、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值是（）

A、-4 B、-2 C、0 D、2

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11、函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像如图所示，以下命题正确的是（）

A、 $f (- 1)$ 是函数的最小值 B、 $f (- 1)$ 是函数的极值 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上不单调 D、 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线的斜率大于0

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足：公差 $d \neq 0$ ， $13 a_{7} = 12 a_{6}$ ， $a_{m} = 0$ ，则 $m =$ （）

A、17 B、18 C、19 D、20

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13、某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， $\overset{⌢}{P Q}$ ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， $\overset{⌢}{P Q}$ 所对的圆心角为 $\frac{π}{6}$ .记∠PCA＝ $2 θ$ （道路宽度均忽略不计）.

(1)、求新路总长度 $f (θ)$ 的解析式；

(2)、求新路总长度的最小值．

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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15、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = 1$ ， $|\vec{e_{2}}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ．

(1)、求 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}}$ ；

(2)、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}}$ ，求 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 的值；

(3)、若 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $|λ \vec{e_{1}} - \vec{c}| (λ \in R)$ 的最小值．

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16、 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面内两个单位向量，它们的夹角为 $60^{\circ}$ ， $|\vec{m} - 2 \vec{n}| =$ .

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17、已知 $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 内一点（含边界），且 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A F}$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、 $△ P C D$ 的面积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、存在 $λ$ ，使得 $|\vec{P C}| < |\vec{A P}|$ C、 $\cos ∠ C P D \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $\vec{P C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是 $[0, \sqrt{3}]$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{4} sin 4 x + \frac{1}{4} cos 4 x + \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若方程 $f (x) + m = 0$ 在 $[0, \frac{5 π}{24}]$ 上恰有一个根，则 $m$ 的取值范围为 $(- 1, - \frac{3}{4}]$

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19、若 $\tan 35 ° = m$ ，则 $\frac{1 + \sin 20 °}{\cos 20 °} =$ （）

A、 $\frac{1 + m}{1 - m}$ B、 $\frac{1 - m}{1 + m}$ C、 $\frac{1}{m}$ D、 $m$

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20、若 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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