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1、如图,四棱台中,上、下底面均是正方形,且侧面是全等的等腰梯形, , 分别为的中点,上下底面中心的连线垂直于上下底面,且与侧棱所在直线所成的角为.(1)、求证:∥平面;(2)、求点到平面的距离;(3)、边上是否存在点 , 使得直线与平面所成的角的正弦值为 , 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由
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2、《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领,制造业是国民经济的主体,是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先,坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率,对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造,为了分析改造的效果,该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件,检测产品的某项质量指标值,根据检测数据得到下表(单位:件).
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
(1)、估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表);(2)、设表示不大于x的最大整数,表示不小于x的最小整数,s精确到个位, , , , 根据检验标准,技术升级改造后,若质量指标值有落在内,则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定;若有落在内,则可以判断技术改造后的产品质量稳定,可认为生产线技术改造成功.请问:根据样本数据估计,是否可以判定生产线的技术改造是成功的? -
3、已知是边长为2的正方体,点E为的中点,点F为的中点.(1)、求证:;(2)、求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值.(3)、求点到直线的距离.
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4、在平面直角坐标系中,是坐标原点,直线的方程为 ,(1)、若 , 求过点且与直线平行的直线方程;(2)、已知原点到直线的距离为4,求的值;(3)、已知直线在两条坐标轴上截得的截距相等,求的值.
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5、A,B,C三人参加知识闯关比赛,三人闯关成功与否相互独立.已知A闯关成功的概率是 , A,B,C三人闯关都成功的概率是 , A,B,C三人闯关都不成功的概率是 .(1)、求B,C两人各自闯关成功的概率;(2)、求A,B,C三人中恰有两人闯关成功的概率;(3)、求A,B,C三人中至少一人闯关成功的概率.
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6、在棱长为1的正方体中,为底面的中心,是棱上一点,且 , , 为线段的中点,给出下列命题:
①四点共面;
②三棱锥的体积与的取值有关;
③当时,;
④当时,过三点的平面截正方体所得截面的面积为.
其中正确的有(填写序号).
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7、数据3.2,3.6,4.5,2.4,4.6,6.4,7.8,7.9,8.0,8.1,8.4,8.6的上四分位数是 .
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8、已知直线经过 , 则该直线过定点 .
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9、直线的方程为 , 若在x轴上的截距为 , 且 . 则下列说法正确的是( )A、直线与的交点坐标为 , 直线在y轴上的截距是 B、已知直线经过与的交点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,的方程为 C、已知动直线经过与的交点,当原点到距离最大时,到距离为 D、直线 , , 若 , 则或2
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10、在四面体中,下列说法正确的有( )A、若 , 则 B、若Q为的重心,则 C、若 , , 则 D、若四面体的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则 .
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11、如图,在直三棱柱中, , 则与所成的角的余弦值为( )A、 B、 C、 D、
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12、设点 , 直线过点 , 且与线段相交,则直线的斜率取值范围是( )A、 B、 C、 D、
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13、在一个实验中,某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率:先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数:
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为( ).
A、0.25 B、0.4 C、0.6 D、0.75 -
14、已知两平行直线和 , 则与的距离为( )A、1 B、 C、 D、2
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15、分别掷两枚质地均匀的硬币,“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B,“两枚结果相同”记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是( )A、A与B,A与C均相互独立 B、A与B相互独立,A与C互斥 C、A与B,A与C均互斥 D、A与B互斥,A与C相互独立
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16、已知 , , ...,的平均数为10,标准差为2,则 , , ...,的平均数和标准差分别为( )A、19和2 B、19和4 C、19和8 D、19和16
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17、已知点在平面内,并且对空间任一点 , , 则( )A、 B、 C、 D、
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18、已知集合 , , .(1)、当时,求 , .(2)、若 , 求的取值范围.
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19、设 , 用表示不超过的最大整数,则称为取整函数,例如, , . 取整函数是德国数学家高斯最先使用的,所以也称高斯函数.该函数具有以下性质:
①的定义域为 , 值域为;
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和,即 , 其中为的整数部分,为的小数部分.
(1)、若 , 求关于的方程的解;(2)、求关于的不等式的解集;(3)、若对于任意的 , 不等式恒成立,求的取值范围. -
20、如图,和都垂直于平面 , 是上一点,且 , 为等腰直角三角形,且是斜边的中点,与平面所成的角为.(1)、证明:平面;(2)、求二面角的平面角的正切值;(3)、若点P是平面ADE内一点,且 , 设点P到平面ABE的距离为 , 求的最小值.