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相关试卷

1、已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，并且对空间任一点 $O$ ， $\vec{O M} = x \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 3}$ ， $B = {x | - 2 < x < 2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ .

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为取整函数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：
① $y = [x]$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $Z$ ；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即 $x = [x] + \{x\} (0 \leq \{x\} < 1)$ ，其中 $[x]$ 为 $x$ 的整数部分， $\{x\} = x - [x]$ 为 $x$ 的小数部分．

(1)、若 $x \in [1, 4)$ ，求关于 $x$ 的方程 $[x] - 3 \{x\} = \frac{1}{2}$ 的解；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $[x] - 2 \{x\} < \frac{7}{2}$ 的解集；

(3)、若对于任意的 $x \in [1, 3)$ ，不等式 $4 x^{2} - 2 a \{x\} + 4 - a \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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4、如图， $D A$ 和 $C B$ 都垂直于平面 $A B E$ ， $F$ 是 $D A$ 上一点，且 $C B = 4, A F = 2$ ， $△ A B E$ 为等腰直角三角形，且 $O$ 是斜边 $A B$ 的中点， $C E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $45^{\circ}$ .

(1)、证明： $F O ⊥$ 平面 $O C E$ ；

(2)、求二面角 $F - E C - O$ 的平面角的正切值；

(3)、若点P是平面ADE内一点，且 $O C ⊥ O P$ ，设点P到平面ABE的距离为 $d_{1}, P A = d_{2}$ ，求 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值.

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5、已知集合 $A = \{x ∣ \log_{3} (x + 2) \leq 3\}, B = {x ∣ 2 m - 4 < x < m + 2}$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cup B, (∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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6、函数 $y = \sqrt{- x^{2} + x + 6}$ 的定义域为集合 $A$ ， $B = {x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ， $C = {x | m - 2 \leq x \leq m + 1}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ .

(2)、若 $B \cup C = B$ ，求实数m的取值范围.

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7、已知右焦点为 $F$ 的椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若 $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，且 $| B F | = 4 | C F |$ ，则 $E$ 的离心率是.

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8、一般认为，民用住宅的窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.现有某酒店计划对一房间进行改造升级，已知该房间原地板面积为60平方米，窗户面积为20平方米.若同时增加窗户与地板的面积，且地板增加的面积恰好是窗户增加的面积的 $k$ 倍，要求改造后的采光效果不比改造前的差，则实数 $k$ 的最大取值为.

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9、若 $f (x) = \{\begin{matrix} 3^{x}, x \leq 0 \\ \frac{1}{x}, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ ．

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10、设 $A (0, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (t + 4, 4)$ ， $D (t, 4) (t \in R)$ ，记 $M (t)$ 为平行四边形 $A B C D$ 内部（不包含边界）的“格点”的个数（格点是指横坐标和纵坐标都是整数的点），则函数 $M (t)$ 可能的值为（）

A、 $12$ B、 $11$ C、 $10$ D、 $9$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足：①对于任意的 $x$ ， $y \in R$ ，都有 $f (x y) = f (x) f (y)$ ， ②存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = 2$ C、当 $f (- 1) = - 1$ 时， $f (x)$ 为奇函数 D、当 $f (- 1) = 1$ 时， $f (x)$ 为偶函数

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12、已知 $x + 2 y = 1$ ，则 $3^{x} + 9^{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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13、关于 $x$ 的不等式 $\frac{2 x - 3}{x - 1} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, \frac{3}{2})$ B、 $(1, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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14、命题“ $\forall x > - 1$ ，使得 $x^{2} \leq 1$ ”的否定是（）

A、“ $\forall x < - 1$ ，使得 $x^{2} \leq 1$ ” B、“ $\forall x < - 1$ ，使得 $x^{2} \geq 1$ ” C、“ $\exists x > - 1$ ，使得 $x^{2} > 1$ ” D、“ $\exists x > - 1$ ，使得 $x^{2} \leq 1$ ”

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15、命题“至少有一个实数 $x$ ，使得 $x^{3} + 1 = 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} + 1 = 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} + 1 = 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} + 1 \neq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} + 1 \neq 0$

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16、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $\vec{C C_{1}} = 4 \vec{C E}$ ，点 $F$ 为BD中点，则点 $D_{1}$ 到直线EF的距离（）

A、 $\frac{\sqrt{114}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{114}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{74}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{74}}{3}$

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17、直线 $x + y + 1 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于A，B两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$ B、 $[1, 5]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ D、 $[\sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

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18、若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 满足 $a = 2 b$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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19、已知集合 $A = {0, 2, 4}, B = {x | | x - 1 ∣ < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 ${0, 4}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${0}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 4 x - 2 ， x < 1 \\ 3^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ 则 $f (f (\frac{3}{4})) =$ .

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