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相关试卷

1、在一个有限样本空间中，假设 $P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{3}$ ，且A与B相互独立，A与C互斥，则（）

A、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ B、 $P (\bar{C} |A) = 2 P (A |\bar{C})$ C、 $P (\bar{C} |A B) = 1$ D、若 $P (C |B) + P (C |\bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则B与C互斥

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (- 2, 3), \vec{c} = (m, n - 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ B、当 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时， $4 n - 3 m = 4$ C、当 $\vec{a} / / \vec{c}$ 时， $m - n = 1$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{10}{13}, \frac{15}{13})$

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0), B (2, 3)$ ，向量 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B}$ ，且 $m - n - 4 = 0$ .若 $P$ 为椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 上一点，则 $|\vec{P C}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5} \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{8}{5} \sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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4、已知体积为 $4 \sqrt{3} π$ 的球 $O$ 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 $4 \sqrt{3}$ . 则该正四棱锥体积值是（）

A、 $\frac{128 \sqrt{3}}{3}$ B、 $43 \sqrt{3}$ C、 $96 \sqrt{3}$ D、 $\frac{80 \sqrt{3}}{3}$

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5、命题“ $\exists x \in [1, 2], x^{2} + \ln x - 2 a \leq 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, \ln 2 + 2)$ D、 $(- \infty, \ln 2 + 4)$

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6、已知函数 $f (x + 1)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称，则下列函数是奇函数的是（）

A、 $y = f (x) + 1$ B、 $y = f (x + 2) + 1$ C、 $y = f (x) - 1$ D、 $y = f (x + 2) - 1$

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7、在 $(a x - 1) {(2 x - 1)}^{3}$ 的展开式中，若各项系数的和为 $0$ ，则 $x^{3}$ 的系数为（）

A、20 B、 $- 20$ C、30 D、 $- 30$

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8、若 $z = 1 + i$ ，则 $|i z + 3 z| =$ （）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x - 4 < 0\}$ ， $B = \{x | |x| > 1, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 2, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{- 3, - 2\}$ D、 $\{- 3, - 2, 0\}$

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10、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A D = A A_{1} = 1, A B = 2$ ，点 $E$ 在棱 $A B$ 上移动．

(1)、当点 $E$ 在棱 $A B$ 的中点时，求点 $B_{1}$ 到平面 $E C D_{1}$ 的距离：

(2)、当 $A E$ 为何值时，平面 $D_{1} E C$ 与平面 $A E C D$ 所成的夹角为 $\frac{π}{4}$ ．

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11、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，上顶点坐标为 $(0, \sqrt{6})$

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设P为椭圆上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，求焦点三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的的周长和面积．

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12、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值．

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值．

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13、2023年11月5至10日，中国国际进口博览会在上海举办，被誉为“黄皮火龙果”的厄瓜多尔麒麟果（图1）首次来到进博展台，其轴截面轮廓可近似看成椭圆（图2），A，C，B，D为椭圆的四个顶点，且 $\cos B = - \frac{1}{5}$ ，则该椭圆的离心率为．

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14、已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是．

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15、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， E是棱 $D D_{1}$ 的中点， $A B = 1, A D = 2, A A_{1} = 4$ ，且 $A B ⊥ A D$ ，则（）

A、 $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C E$ C、直线 $B_{1} D$ 与CE所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{105}}{15}$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\sqrt{6}$

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16、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 50$ ，则（）

A、两圆的圆心距为 $2 \sqrt{5}$ B、两圆的公切线有3条 C、两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 $x - 2 y + 4 = 0$ D、两圆相交，且公共弦的长度为 $4 \sqrt{5}$

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17、已知 $M$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 是左､右焦点，下列选项中正确的是（）

A、椭圆的焦距为2 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 4$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是2

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18、自点 $A (- 2, 1)$ 发出的光线 $l$ 经过 $x$ 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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19、已知空间中三点 $A (- 1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, - 1)$ ， $C (- 2, - 1, 2)$ ，则点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、若点 $P (a, b)$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 内，则直线 $a x + b y = 1$ 与圆C的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不能确定

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