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相关试卷

1、设l，m，n是不同的直线，m，n在平面 $α$ 内，则“ $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、 $x^{2} \leq 4$ 的一个充分不必要条件是（　　）

A、 $- 2 \leq x < 0$ B、 $x \geq - 2$ C、 $0 < x \leq 2$ D、 $- 2 \leq x \leq 2$

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3、在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求丙连胜四场的概率；

(2)、求需要进行第五场比赛的概率；

(3)、甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = \sqrt{2} A A^{'}$ ，点M，N分别为 $A^{'} B$ 和 $B^{'} C^{'}$ 的中点.

(1)、证明： $M N$ $∥$ 平面 $A^{'} A C C^{'}$ ；

(2)、求直线 $A^{'} N$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值.

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5、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 $60^{°}$ ， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \vec{b}$ ， $\overset{⃑}{A A_{1}} = \vec{c}$ ，
（1）用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\overset{⃑}{B M}$ ；
（2）求对角线 $A C_{1}$ 的长；
（3）求 $\cos 〈 \overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C_{1}} 〉$

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6、如图，两条异面直线 $a, b$ 所成的角为 $60 °$ ，在直线 $a, b$ 上分别取点 $A_{1}, E$ 和点 $A, F$ ，使 $A_{1} A ⊥ a, A_{1} A ⊥ b$ .已知 $A_{1} E = 1, A F = 2, E F = 3$ ，则 $|A A_{1}| =$ .

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7、某专业技术的考试共两个单项考试，考生应依次参加两个单项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考.据调查，这两项考试的合格率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ，且各项考试是否通过互不影响，则一位考生通过这项专业技术考试至多需要补考一次的概率为.

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8、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ .

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 与 $B A A_{1} B_{1}$ 是边长为2的正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $B A A_{1} B_{1}$ ， $M, N$ 分别在 $B C_{1}$ 和 $A B_{1}$ 上，且 $B M = A N = a (0 < a < 2 \sqrt{2})$ ，则（）

A、直线 $M N //$ 平面 $A B C$ B、当 $a = 1$ 时，线段 $M N$ 的长最小 C、当 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，直线 $M N$ 与平面 $B A A_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ D、当 $a = \sqrt{2}$ 时，平面 $M N B$ 与平面 $M N B_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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10、下列四个命题中，正确命题的有（）

A、已知向量 $\vec{a} = (1, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 1)$ ， $\vec{c} = (t, 5, 1)$ 共面，则实数t的值为0 B、若向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, m)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 $m < 5$ C、已知直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ，点 $A (1, 2, - 1)$ 在l上，则点 $P (2, 1, 1)$ 到l的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、若两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u}$ ， $\vec{v}$ ，且 $\vec{u} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{v} = (- 2, - 4, 4)$ ，则 $α / / β$

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点E是棱 $C C_{1}$ 的中点，动点P在正方形 $A A_{1} B_{1} B$ 内（包括边界）运动，且 $P D_{1} ∥$ 平面 $B D E$ ，则 $P C$ 长度的取值范围为（）

A、 $[5, 6]$ B、 $[4 \sqrt{2}, 6]$ C、 $[\frac{12 \sqrt{5}}{5}, 6]$ D、 $[2 \sqrt{5}, 6]$

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12、如图，点P为矩形 $A B C D$ 所在平面外一点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， Q为 $A P$ 的中点， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $P A = 2$ ，则点P到平面 $B Q D$ 的距离为（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{13}{12}$

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13、已知点D在 $△ A B C$ 确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{O C} - x \vec{O A} - y \vec{O B}$ ，且 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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14、同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件 $A =$ “ $2^{x + y} = 64$ ”，事件 $B =$ “ $x y$ 不能被2整除”，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{13}{36}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{11}{36}$

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15、已知某运动员每次投篮命中的概率都为 $40 %$ ，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 123 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{5}{8}$

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16、已知点 $A (1, - 2, - 1)$ ，点C与点A关于平面Oxy对称，点B与点A关于z轴对称，则线段BC的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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17、已知非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则“ $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ ”是“ $\vec{a} // \vec{b}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非必要非充分条件

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18、中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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19、已知 $a, b \in R$ ，则“ $2^{- a} < 2^{- b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、若平面 $α$ 与平面 $β$ 平行， $a \subset α, b \subset β$ ，则直线 $a, b$ 的位置关系为．

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