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相关试卷

1、对于函数 $f (x)$ ， $x \in [a, b]$ ，以及函数 $g (x)$ ， $x \in [a, b]$ ．若对任意的 $x \in [a, b]$ ，总有 $|\frac{f (x) - g (x)}{f (x)}| \leq \frac{1}{10}$ ，那么称 $f (x)$ 可被 $g (x)$ “替代”（通常 $g (x) \neq f (x)$ ）．

(1)、试给出一个可以“替代”函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 的函数 $g (x)$ ；

(2)、试判断 $f (x) = \sqrt{x} (x \in [4, 16])$ 是否可被直线 $g (x) = \frac{x + 6}{5}$ ， $x \in [4, 16]$ “替代”．

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2、（1）已知 $12 < a < 60$ ， $15 < b < 36$ ，求 $a - 2 b$ 的取值范围．
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ 且 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$ ，求使不等式 $x + y \geq m$ 恒成立的实数 $m$ 的取值范围．

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3、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值为.

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4、若 $p : - 2 < x < 2$ ， $q : \sqrt{x} < 4$ ，则 $p$ 是 $q$ 的条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处）

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5、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 6 x - 7 = 0\}$ ，则 $A$ 的真子集的个数是.

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6、定义在 $(- 1, 1)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，且当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增 C、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{5}) = f (\frac{1}{2})$ D、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{4}) < f (\frac{1}{2})$

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7、下列说法中，正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ B、若 $a^{2} > b^{2}$ ， $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ D、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$

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8、已知函数 $f (x) = - 2 x^{2} + a x$ 在区间 $(- 1, 2)$ 上不具有单调性，则 $a$ 的值可以是（）

A、9 B、-1 C、-5 D、0

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 4$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x$ .若“ $\forall x_{1} \in [1, 4]$ ， $\exists x_{2} \in [2, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立”为真命题，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(- \infty, 2 \sqrt{3})$ D、 $(- 4, 2)$

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10、若不等式 $x^{2} - 5 a x + 1 < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{a}, a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、已知 $f (x)$ 为幂函数， $m$ 为常数，且 $m > 1$ ，则函数 $g (x) = f (x) + m^{x^{2} - 1}$ 的图象经过的定点坐标为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- 1, 2)$

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12、函数 $y = 2 - \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ ， $x \in [0, 4]$ 的值域为（）．

A、 $[- 2, 2]$ B、 $[1, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

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13、已知集合 $P = \{x \in N | 1 < x \leq 4\}$ ， $A = \{a - 1, a\}$ ，若 $∁_{P} A = \{4\}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、不存在

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14、下列函数中为偶函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2} + 1$

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15、已知命题 $p$ ： $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ，则命题 $p$ 的否定为（）．

A、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$

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16、函数 $f (x) = \sqrt{x + 4} + \frac{1}{x + 3}$ 的定义域是（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $[- 4, - 3) \cup (- 3, + \infty)$ C、 $(- 4, + \infty)$ D、 $(- 3, + \infty)$

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17、高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于 $13$ 秒到 $18$ 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）；
（3）设 $m$ ， $n$ 表示该班两个学生的百米测试成绩，已知 $m$ ， $n$ ∈[13，14）∪[17，18]，求事件“| $m$ ﹣ $n$ |＞2”的概率．

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18、已知函数 $f (x)$ 为偶函数，其图像在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，记 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1}$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，G为 $A A_{1}$ 的中点，E为 $C_{1} D$ 的中点， $B F = 3 A F$ ，点P为线段 $B C_{1}$ 上的动点（不包括线段 $B C_{1}$ 的端点）．
（1）若 $E P //$ 平面CFG，请确定点P的位置；
（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．

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20、如图，直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为4，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A D = D B = 2$ ， $∠ A D B = 60 °$ ， $M, N$ 分别为线段 $B B_{1}$ 、 $A_{1} D$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥$ 平面 $C C_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - D C_{1} - C$ 的余弦值．

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