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相关试卷

1、如图所示，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = 90^{\circ}, S A ⊥$ 平面 $A B C D, S A = A B = B C = 2, A D = 1$ .

(1)、若M为SC的中点，求证：SB $⊥$ AM

(2)、求SC与平面 $A S D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $S A B$ 与平面 $S C D$ 的夹角的余弦值.

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2、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40, 50), [50, 60), \dots, [80, 90), [90, 100]$ .

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计该企业的职工对该部门评分的75%分位数（结果精确到0.1）；

(3)、从评分在 $[40, 60)$ 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[40, 50)$ 的概率.

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3、已知集合 $B ， C$ 是集合 $A$ 的真子集且 $B \cap C = \emptyset$ ，如果 $\forall a \in A, \exists b \in B,$ $c \in C$ ，使得 $a = λ b + μ c$ ，其中 $λ, μ \in \{0, 1\}$ ，则称 $B ， C$ 是集合 $A$ 的一组有序基底集，记为 $(B, C)$ .已知 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ，且 $(B, C)$ 为 $A$ 的一组有序基底集，则集合 $B$ 中的元素之和小于 4 的概率为 .

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4、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中：直线 $A_{1} C_{1}$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为.

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5、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ 和 $\vec{b} = (2, 2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为(用坐标表示).

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6、某高中有学生 $500$ 人，其中男生 $300$ 人，女生 $200$ 人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为 $50$ 的样本．经计算得到男生身高样本均值为 $170 cm$ ，方差为 $17 {cm}^{2}$ ；女生身高样本均值为 $160 cm$ ，方差为 $30 {cm}^{2}$ ．下列说法中正确的是（）

A、男生样本量为 $30$ B、每个女生入样的概率均为 $\frac{2}{5}$ C、所有样本的均值为 $166 cm$ D、所有样本的方差为 $22.2 {cm}^{2}$

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7、一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件 $A =$ “摸出的球是红球”，事件 $B =$ “摸出的球标号为偶数”，事件 $C =$ “摸出的球标号为3的倍数”，则（）

A、事件A与事件C互斥 B、事件B与事件C互斥 C、事件A与事件B相互独立 D、事件B与事件C相互独立

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8、某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（）

A、众数是22 B、80百分位数是28 C、平均数是30 D、前4个数据的方差比最后4个数据的方差小

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9、如图，棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体表面BCC₁B₁上的一个动点，E，F分别为BD₁的三等分点，则 $| P E | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{11}$

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10、某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（）

A、70和50 B、70和67 C、75和50 D、75和67

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 0, \sqrt{3})$ ，单位向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12、本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为 $20 %$ ，下雨的概率为 $30 %$ ，吹南风或下雨的概率为 $35 %$ ，则既吹南风又下雨的概率为（）

A、 $30 %$ B、 $15 %$ C、 $10 %$ D、 $6 %$

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13、下列关于空间向量的命题中，正确的有（）

A、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 3, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{u} = (0, - 5, 0)$ ，则 $l / / α$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是空间的一组基底，则向量 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ 也是空间一组基底 C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则有 $\vec{a} // \vec{c}$ D、若 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\vec{O D} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面

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14、一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计事件M发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{6}$

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15、已知函数 $f (x) = x ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{e}$ D、 $y = f (x)$ 在 $(1, 0)$ 点处切线为 $y = x - 1$

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16、若 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ， $a > b$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$ D、 $a |c| > b |c|$

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17、两条都与 $y$ 轴平行的直线之间的距离为 $6$ ，它们与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 和圆 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 分别交于点 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，则 $|A B| \cdot |C D|$ 的最大值为.

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18、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 4 m y + 6 = 0$ 关于直线 $m x + y + 3 = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-3 C、1或-3 D、-1或3

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19、函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x$ 的最小正周期为

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20、某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛.随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成 $[160, 165), [165, 170), \cdot \cdot \cdot, [180, 185)$ 共五组后，得到的频率分布图表如下所示：

(1)、求这100名参赛者得分的第85百分位数；

(2)、估计这100名学生的成绩的平均数.

(3)、为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.

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231	130	133	231	031	320	122	103	233