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相关试卷

1、塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量 $y$ 与自然降解时间（年）之间的关系为 $y = y_{0} \cdot e^{k t}$ ，其中 $y_{0}$ 为初始量， $k$ 为降解系数，已知该种塑料经过 $3$ 年自然降解后的残留量为初始量的 $80 %$ ，则要使得其残留量不超过初始量的 $10 %$ ，该种塑料至少需要自然降解的年数为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ）

A、 $30$ B、 $31$ C、 $32$ D、 $33$

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2、下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 及其导函数的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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3、已知函数 $f (x) = 2 \cos (x + \frac{π}{4} + φ)$ 是偶函数，则 $\tan φ$ 的值为

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4、已知集合 $A = \{y | y = 3 x - 1, x \in N\}, B = \{x | x^{2} - 4 x - 5 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 5]$ B、 $\{2, 5\}$ C、 $\{- 1, 2, 5\}$ D、 $[0, 5]$

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5、给定函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、在同一直角坐标系中画出函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象；

(2)、观察图象，直接写出不等式 ${(x + 1)}^{2} < x + 1$ 的解：

(3)、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ ．例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = \max \{f (2), g (2)\} = \max \{3, 9\} = 9$ ．请分别用图象法和解析法表示函数 $M (x)$ ．

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6、布罗卡尔点（Brocard’s point）是三角形几何中的一个特殊点.罗卡尔点的发现可以追溯到1816年.由德国数学家克雷尔（A.L.Crelle）首次发现，但当时并未受到广泛关注.直到1875年，法国军官布罗卡尔重新发现了这个点，并用自己的名字命名，从而引起了数学界的广泛关注.它的定义是：若 $△ A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A$ ，则称P为 $△ A B C$ 的布罗卡尔点.若设 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称 $θ$ 为布罗卡尔角.已知 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若P为 $△ A B C$ 的布罗卡尔点，并记 $△ P A B$ 、 $△ P B C$ 、 $△ P A C$ 的外接圆面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1} S_{2} S_{3} =$ .

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7、某电路由 $A, B, C$ 三种部件组成（如图），若在某段时间内 $A, B, C$ 正常工作的概率分别为 $\frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}$ ，则该电路正常运行的概率为.

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8、解下列方程和不等式：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 8=0$

(2)、 $6 x^{2} + 5 x - 6 > 0$

(3)、 $(5 - x) (x + 4) \geq 18$

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9、已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W（kg）作为样本，则样本的方差为．

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10、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 均为幂函数. $h (x) = \ln k x$ ，且 $f (2) g (3) > f (3) g (2)$ .

(1)、若 $u (x) = f (x) + g (x)$ ，证明： $u (- \frac{1}{2}) > 0$ ；

(2)、若 $u (x) = f (x) - h (x)$ ， $f (2) = 4$ ，当 $k > 0$ 且函数 $u (x)$ 有两个零点时，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $u (x) = g (x) h (x)$ ， $f (2) = 1$ ， $k = \ln g (e)$ ，证明： $u (x)$ 在区间 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ 单调递增.

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11、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时， $|M N| = 8$ .

(1)、求C的方程；

(2)、设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若 $|Q R| \leq 3$ ，求 $△ M N Q$ 面积的取值范围.

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12、如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\cos B = \frac{1}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上．
(Ⅰ) 若 $∠ A D C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $A D$ 的长；
（Ⅱ）若 $B D = 2 D C$ ， $Δ A C D$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D}$ 的值．

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13、若直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，则 $a + b$ 的取值范围为.

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14、 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E ､ F$ 分别为棱 $A A_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、三棱锥 $A_{1} - B E F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ B、 $E F$ 与 $B C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ C、过 $B, E, F$ 三点的平面截正方体所得截面图形为等腰梯形 D、平面 $B E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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16、若函数 $f (x) = sin(ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有一个零点， $f (\frac{π}{4}) = 1$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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17、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{2}$ 的半径是圆 $O_{1}$ 半径的2倍，且 $O_{2}$ 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）

A、 $3 : 4$ B、 $1 : 2$ C、 $3 : 8$ D、 $3 : 10$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x, & x \leq 1 \\ 1 - |x - 3|, & x > 1 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - f (1 - a) = 0$ 至少有两个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- 4, \sqrt{2})$ D、 $[- 4, \sqrt{2}]$

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3})$ ，向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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20、设函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = \ln x$ ．

(1)、已知 $e^{x} \geq k x \geq \ln x$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求实数k的取值范围；

(2)、已知直线l与曲线 $f (x), g (x)$ 分别切于点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, g (x_{2}))$ ，其中 $x_{1} > 0$ ．
①求证： $e^{- 2} < x_{2} < e^{- 1}$ ；
②已知 $(λ x_{2} - x + 1) e^{x} + x \leq 0$ 对任意 $x \in [x_{1}, + \infty)$ 恒成立，求 $λ$ 的最大值．

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