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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，则双曲线（）

A、焦点坐标为 $(- \sqrt{2}, 0)$ 和 $(\sqrt{2}, 0)$ B、渐近线方程为 $y = \frac{1}{3} x$ 和 $y = - \frac{1}{3} x$ C、离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、与直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ 有且仅有一个公共点

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2、“ $1 < m < 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{3 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、若函数 $h (x) = f (x) - a {(x + 1)}^{2}$ 不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a x$ 有且仅有一个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + (a - 1) x - \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 的最小值 $g (a)$ .

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

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6、设满足方程 ${(2 m a e^{a} - b)}^{2} + {(c - m e^{c} - d)}^{2} = 0$ 的点 $(a, b), (c, d)$ 的运动轨迹分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ ，若曲线 $C_{1}, C_{2}$ 有两个交点（其中 $m \in R, e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数），则实数 $m$ 的取值范围为.

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7、已知函数 $f (x) = x \ln x + a x^{2}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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8、设函数 $f (x) = e^{x} {(x - 1)}^{2} (x - 2)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极大值点 B、 $f (x)$ 有两个极小值点 C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点

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9、已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - 2$ 有且仅有一个零点，其中 $0 < a < 1 < b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{8}{b}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8$ D、 $8 \sqrt{2}$

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10、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的导函数为 $f^{'} (x), x f^{'} (x) > 2 f (x)$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $2024^{2} f (2025) > 2025^{2} f (2024)$ B、 $2024^{2} f (2025) < 2025^{2} f (2024)$ C、 $2024 f (2025) > 2025 f (2024)$ D、 $2024 f (2025) < 2025 f (2024)$

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11、曲线 $y = x e^{x} - x$ 在点 $P$ 处切线的斜率为 $- 1$ ，则 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 1 - \frac{1}{e})$ C、 $(1, e - 1)$ D、 $(1, 2 e - 1)$

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12、函数 $y = \frac{cos x}{x}$ 的导数是（）

A、 $- \frac{sin x}{x^{2}}$ B、 $- sin x$ C、 $- \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、 $- \frac{x cos x + cos x}{x^{2}}$

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13、某电动自行车的耗电量 $y$ 与速度 $x$ 之间的关系式为 $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{39}{2} x^{2} - 40 x (x > 0)$ ，为使其耗电量最小，则其速度为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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14、已知函数 $f (x) = ln \frac{e^{2 x}}{x} + a x, a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若方程 $e^{x - 1} + \frac{a f (x)}{x} = {(a + 1)}^{2}$ 有两个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 $i$ 行，第 $j$ 列的数记为 $a_{i, j}$ ，例如 $a_{3, 2} = 9$ ， $a_{4, 2} = 15$ ， $a_{5, 4} = 23$ ，若 $a_{i, j} = 2025$ ，则 $i + j =$ （）

A、64 B、65 C、68 D、72

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16、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，若 $a_{8} + a_{9} > 0$ ， $a_{9} < 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $d < 0$ B、当 $n = 8$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 C、 $a_{2} + a_{5} + a_{12} > 0$ D、使得 $S_{n} > 0$ 成立的最大自然数 $n$ 是15

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17、 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{3}, a_{7}$ 是方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{2}$

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18、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, P$ 为其上一动点，当 $P$ 运动到点 $(2, t)$ 时， $|P F| = 4$ ，直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，点 $Q (6, - 4)$ ，则（）

A、 $E$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、 $|P Q| + |P F|$ 的最小值为8 C、若 $|A B| = 8$ ，则 $l$ 过点 $F$ D、当直线 $l$ 过焦点 $F$ 时，以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

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19、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 4$ ，则 $a_{5} - 3 a_{3} =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、 $- 4$ D、 $- 2$

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20、函数 $y = \sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{lg (2 x - 3)}$ 的定义域为.

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