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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (b + a + c, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} c, b − a + c)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a =3$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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2、如图，正三棱锥 $V - A B C$ 中， $A B = B C = A C = 2, V A = V B = V C = \sqrt{2}$ ，点 $M, N$ 分别为 $V A, B C$ 的中点，一只蚂蚁从点 $M$ 出发，沿三棱锥侧面爬行到点 $N$ ，求：

(1)、该三棱锥的体积与表面积；

(2)、蚂蚁爬行的最短路线长.

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3、已知复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $|z_{2}| = 1$ ，则 $|z_{1} - 2 z_{2}|$ 的最大值为.

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4、已知 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3, \vec{e}$ 是 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量，且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \vec{e}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ =$ .

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + 1, x \leq 0, \\ |\log_{2} x| - 1, x > 0, \end{array}$ 则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ C、方程 $f (x) = f (f (\frac{1}{8}))$ 有两个不等的实数根 D、不等式 $f (f (x)) < 0$ 解集为 $(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{2}}{4}) \cup (2 \sqrt{2}, 8)$

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6、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ)$ ，则下列命题正确的有（）

A、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 C、 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 3$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为3

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是线段 $B C$ 上的一点，且 $\vec{B C} = 4 \vec{B D}$ ，过点 $D$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C}$ $(λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ - \frac{1}{μ}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、 $2 \sqrt{3} + 4$ C、 $2 \sqrt{3} - 4$ D、 $2 \sqrt{3} + 2$

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8、 $a > - 3$ 是函数 $f (x) = x^{2} + a x + 4$ 在 $x \in [1, 3]$ 上恒大于0的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $Δ O A B$ 的直观图， $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = 2$ ， $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = 45^{\circ}$ ，则 $△ O A B$ 的面积是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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10、函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1) - \frac{2}{x}$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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11、 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则B的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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12、若复数 $z = \frac{5}{i - 2}$ ， $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、1 C、 $- 1$ D、 $- i$

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} \neq 1$ ，则 $A + B =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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14、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 1, x^{2} < 1$ ”的否定是“ $\exists x \leq 1, x^{2} \geq 1$ ” B、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 C、设 $a, b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件 D、“ $x > 1$ ”是“ $|x + 1| \geq 2$ ”的既不充分也不必要条件

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15、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ ，则（）

A、 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 对称 C、 $g (x) = f (x) + 1$ 有2个零点 D、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x^{2} - 1) > f (x - 1)$

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16、已知集合 $A = \{x| x - 3 > 0\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 5 x + 4 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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17、甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为 $\frac{1}{6}$ ，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为 $\frac{1}{9}$ ，且任意两次射击互不影响．

(1)、分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；

(2)、求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；

(3)、若乙想击中目标的概率不低于 $\frac{99}{100}$ ，乙至少需要射击多少次？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (0 ， 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量等于.

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19、正整数集 $A = \{m + 1, m + 2, m + 3, \dots, m + 3 n\}$ ，其中 $m \in N, n \in N^{+}$ .将集合 $A$ 拆分成 $n$ 个三元子集，这 $n$ 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合 $A$ 是“三元可拆集”.

(1)、若 $m = 1, n = 3$ ，判断集合 $A$ 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；

(2)、若 $m = 0, n = 6$ ，证明：集合 $A$ 不是“三元可拆集”；

(3)、若 $n = 16$ ，是否存在 $m$ 使得集合 $A$ 是“三元可拆集”，若存在，请求出 $m$ 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.

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20、已知 $b > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} - x - (x - 1) ln (b x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线过点 $(0, - 1)$ .

(1)、求实数b的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若对 $\forall x \geq 1, f (x) \geq a (x - 1)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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