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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}), ω > 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若函数周期为4，则 $ω = \frac{1}{2}$ B、当 $ω = 2$ 时，函数的对称轴为 $x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$ C、若函数在 $(0, \frac{π}{3})$ 单调，则 $ω$ 有最大值2 D、若函数 $y = \sin x$ 可以由 $f (x)$ 先向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则 $ω = \frac{1}{3}$

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2、“ $a \geq 0$ ”是“函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ 2^{x} + a, x \leq 0 \end{array}$ 有且只有一个零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知 $l_{1} : x + (1 + a) y + a - 2 = 0, l_{2} : 2 a x + 4 y + 16 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则a的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- 2$ C、1 D、 $- 2$ 或1

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4、已知复数 $z = \frac{1 + i}{3 - i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、如图，扇形钢板 $P O Q$ 的半径为 $1 m$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，现要从中截取一块四边形钢板 $A B C O$ ，其中顶点 $B$ 在扇形 $P O Q$ 的弧 $P Q$ 上， $A ， C$ 分别在半径 $O P ， O Q$ 上，且 $A B ⊥ O P ， B C ⊥ O Q$ ．

(1)、设 $∠ A O B = θ$ ，试用 $θ$ 表示截取的四边形钢板的面积 $S (θ)$ ，并指出 $θ$ 的取值范围；

(2)、求当 $θ$ 为何值时，截取的四边形钢板 $A B C O$ 的面积最大，并求出最大值．

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6、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$ .
（1）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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7、已知 $cos (α - \frac{β}{2}) = - \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $sin (\frac{α}{2} - β) = \frac{1}{2}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $cos \frac{α + β}{2}$ 的值；

(2)、求 $tan (α + β)$ 的值.

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8、已知 $\overset{⃑}{a}$ ､ $\overset{⃑}{b}$ 均为单位向量，若 $|\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为.

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9、为了得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、右移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位 B、左移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位 C、右移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位 D、左移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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10、已知 $△ A B C$ 的重心为点P，若 $\sqrt{3} \sin A \cdot \overset{⃑}{P A} + \sqrt{3} \sin B \cdot \overset{⃑}{P B} + \sin C \cdot \overset{⃑}{P C} = \vec{0}$ ，则角B为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11、在△ABC中，若 $\tan A + \tan B + \sqrt{2} = \sqrt{2} \tan A \tan B$ ，则 $\tan 2 C =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12、已知 $\sin (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{4}$ ，则 $\cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的值为

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、化简 $\sin 200^{\circ} \sin 230^{\circ} - \cos 160^{\circ} \sin 40^{\circ}$ ，得（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sin 200^{\circ}$ C、 $\cos 200^{\circ}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、 $\cos 105 ° =$ （）

A、 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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15、已知在正六边形 $A B C D E F$ 中， $G$ 是线段 $C D$ 上靠近 $C$ 的三等分点，则 $\vec{G A} =$ （）

A、 $\frac{8}{3} \vec{B A} - \frac{4}{3} \vec{C E}$ B、 $\frac{10}{3} \vec{B A} - \frac{2}{3} \vec{C F}$ C、 $\frac{10}{3} \vec{B A} - \frac{4}{3} \vec{C E}$ D、 $- \frac{10}{3} \vec{B A} + \frac{4}{3} \vec{C E}$

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16、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a b > 1$ ”是“ $(a - 1) (b - 1) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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17、已知函数 $f (x) = \frac{a e^{2 x} - 1}{x}$ 的图象在 $(1, f (1))$ 处的切线经过点 $(2, 2 e^{2})$ ．

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $λ (x^{3} - x) - ln x e^{2 λ x} + ln x < 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上恒成立，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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18、抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到准线的距离等于椭圆 $C_{2} : x^{2} + 16 y^{2} = 1$ 的短轴长．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、设 $D (1, t)$ 是抛物线 $C_{1}$ 上位于第一象限的一点，过 $D$ 作 $E : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （其中 $0 < r < 1$ ）的两条切线，分别交抛物线 $C_{1}$ 于点 $M, N$ ，过原点作直线 $M N$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，证明点 $Q$ 在定圆上，并求定圆方程

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19、某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会．统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第 $k$ 次投进的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，当第 $k$ 次投进时，第 $k + 1$ 次也投进的概率保持 $p$ 不变，当第 $k$ 次没能投进时，第 $k + 1$ 次能投进的概率为 $\frac{p}{2}$ ．

(1)、若选手甲第1次投进的概率为 $\frac{1}{2}$ ，求选手甲至少投进一次的概率；

(2)、设选手乙第1次投进的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手得分 $X$ 的分布列与数学期望．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 面 $A B C D, P A = A D = \sqrt{2} A B$ ，点 $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A M ⊥ P C$ ；

(2)、设 $A C$ 的中点为 $O$ ，点 $N$ 在棱 $P C$ 上（异于点 $P, C$ ），且 $O N = O A$ ，求直线 $A N$ 与平面 $A C M$ 所成角的余弦值．

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