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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $C$ 的右顶点为 $P$ ，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ ，求 $|A B|$ .

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B E$ 的距离.

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3、已知圆 $C$ 的圆心为直线 $x + y - 2 = 0$ 与直线 $3 x - y - 6 = 0$ 的交点，且圆 $C$ 过点A $(3, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为圆 $C$ 上任意一点， $M (8, 0)$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P M} = 2 \vec{Q M}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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4、已知正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的底面边长为 $2 \sqrt{3}$ ，高为2，点 $P$ 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是 $M N$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是.

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5、已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且弦 $A B$ 的中点为 $M (3, \frac{3}{2})$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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6、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ ，并且焦距为6，则实数 $m$ 的值为.

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7、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则直线 $l$ $∥$ $α$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 C、两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(1, 2, 2)$

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8、下列说法正确的是（）

A、过 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ B、已知两点 $A (- 3, 4)$ ， $B (3, 2)$ ，过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 1]\cup[1, + \infty)$ C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是 $2$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ .过 $F_{2}$ 向一条渐近线作垂线，垂足为 $P$ .若 $|P F_{2}| = 2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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10、一条光线从点 $(5, 4)$ 射出，经 $x + y - 2 = 0$ 反射后与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ 或 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$ 或 $\frac{5}{6}$

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11、已知直线 $a, b, c$ 和平面 $α, β, γ$ ，则下列命题正确的是（）

A、平面 $α$ 内不一定存在和直线 $a$ 垂直的直线 B、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ C、若 $a, b$ 异面且 $a \subset α, b \subset β, a // β, b // α$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap β = a, α \cap γ = b, β \cap γ = c$ ，则直线 $a, b, c$ 可能两两相交且不过同一点

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12、如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线 $O B$ ， $A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是对边 $O A$ ， $B C$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2, 2), \vec{b} = (2, y, 2), \vec{c} = (3, - 6, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b}$ $∥$ $\vec{c}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 2$ C、2 D、8

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14、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $120^{\circ}$ ，在 $y$ 轴上的截距是3，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = \sqrt{3} x + 3$ B、 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ C、 $y = - \sqrt{3} x + 3$ D、 $y = - \sqrt{3} x - 3$

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15、如图1，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 的中点， $A C \cap B D = O_{1}$ ， $A C \cap M N = G$ ．沿 $M N$ 将 $△ C M N$ 翻折到 $△ P M N$ 的位置，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ ，得到如图2所示的五棱锥 $P - A B M N D$ ．

(1)、证明：在翻折过程中总有平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A G$ ；

(2)、若平面 $P M N ⊥$ 平面 $M N D B$ ，线段 $P A$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得平面 $Q D N$ 与平面 $P M N$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ ？若存在，试确定点 $Q$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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16、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y + 8 = 0$ ， $A$ 是圆 $C$ 上的一个动点，点 $P (2, 2)$ ， $M$ 是线段 $A P$ 的中点， $O$ 为坐标原点．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、当 $|O P| = |O M|$ 时，求直线 $P M$ 的方程及线段 $P M$ 的长度．

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17、如图，在三棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A B C$ 都为等边三角形，且边长分别为 $2$ 和 $4$ ， $C C_{1} = 2$ ， $∠ A C C_{1} = ∠ B C C_{1} = 90 °$ ， $G$ 为线段 $A C$ 的中点， $H$ 为线段 $B C$ 上的点， $A_{1} B ∥$ 平面 $C_{1} G H$ ．

(1)、求证：点 $H$ 为线段 $B C$ 的中点；

(2)、求点 $H$ 到平面 $A_{1} A B$ 的距离．

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18、袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球 $n$ 个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件 $A$ ，且事件 $A$ 发生的概率是 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率．

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19、已知 $F$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一点，则 $|P Q| - |P F|$ 的最小值为．

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20、人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设 $P (x, y, z)$ 是平面 $α$ 内的任意一点，若平面 $α$ 经过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 为法向量，则由 $\vec{u} \cdot P_{0} P = 0$ ，可得 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x + 2 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 2, - 2)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为．

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