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相关试卷

1、从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位： $m m$ ），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为.

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2、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点， $G$ 为底面 $A B C D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时， $E F ⊥ C G$ B、若 $G$ 在线段 $B D$ 上运动，三棱锥 $A - G E F$ 的体积为定值 C、存在点 $G$ ，使得平面 $E F G$ 截正方体所得的截面面积为 $12 \sqrt{3}$ D、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球表面积为 $\frac{236 π}{9}$

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3、下面命题中是真命题的有（）

A、 $△ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4 C、函数 $f (x) = sin x + \frac{4}{sin x}$ 的最小值为4 D、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 a^{x} - 1, x \leq 1, \\ {log}_{a} x, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为 $[\frac{1}{2}, 1)$ .

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $c = 3, b = 2, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{6}}{5}$ ，则 $B C$ 边上的高线 $A H$ 的长等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、2 D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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5、设点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ （ $a > 0$ ）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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6、设 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{| 1 - \sqrt{3} i |}{1 + i}$ 的共轭复数是

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $2 + i$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n}$ 是 $3 a_{n}$ 与 $- 3$ 的等差中项；数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1} = 1, b_{n} - b_{n - 1} = n (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{2 b_{n} - n}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < \frac{7}{4}$ ；

(3)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求 $T_{n}$ .

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8、如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为4，四边形 $A B E F$ 为矩形， $A F = 2$ ，点 $G$ 在 $E F$ 上，若三棱锥 $C - A B G$ 的四个顶点都在半径为 $\frac{\sqrt{129}}{4}$ 的球 $O$ 的球面上，则 $F G =$ .

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，满足线段 $P F_{2}$ 与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段 $P F_{2}$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n - 1} \cdot n$ ，则 $S_{17} =$ .

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11、（多选）物体运动方程为 $s (t) = 3 t^{2}$ （位移单位： $m$ ，时间单位： $s$ ），若 $v = \lim_{Δ t \to 0}$ $\frac{s (3 + Δ t) - s (3)}{Δ t} = 18 m / s$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $18 m / s$ 是物体从开始到 $3 s$ 这段时间内的平均速度 B、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的速度 C、 $18 m / s$ 是物体在 $3 s$ 这一时刻的瞬时速度 D、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的平均速度的极限值

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12、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = sin \frac{(n + 1) π}{2}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{18} =$ （）

A、0 B、18 C、10 D、9

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13、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = n - 3$ ，若 $a_{4}, a_{6}, a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、9 B、12 C、15 D、18

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14、已知函数 $g (x) = (a + 1) e^{x} - \frac{e^{2 x}}{2} - a x - 3$ （ $a \in R$ 且 $a \geq 2$ ）

(1)、判断 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若m，n为方程 $g^{'} (x) = t (t \geq 0)$ 的两个根 $(m < n)$ ，求 $g (m) + g (n)$ 的最小值．

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15、如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线 $l$ 旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为 $O$ ， $D$ 是几何体侧面上不在 $⊙ O$ 上的动点， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上不同于 $A$ ， $B$ 的动点， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ .
（1）证明： $E G //$ 平面 $B C D$ ；
（2）当三棱锥 $D - A B C$ 体积最大时，求直线 $C D$ 与面 $B G E$ 所成角的正弦值.

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16、养殖户承包一片靠岸水域，如图所示， $A O$ ， $O B$ 为直线岸线， $O A = 2$ 千米， $O B = 3$ 千米， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，过弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点P按线段 $P A$ 和 $P B$ 修建养殖网箱，已知 $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求岸线上点A与点B之间的直线距离；

(2)、如果线段 $P A$ 上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段 $P B$ 上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记 $∠ P A B = θ$ ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的任意一点，记 $l$ 为 $P$ 在椭圆 $C$ 上的切线，过 $F_{1}$ 作直线 $F_{1} H ⊥ l$ ，垂足为 $H$ ，则 $△ H F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为

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18、将正整数n分解成两个正整数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的积，即 $n = k_{1} \times k_{2}$ ，当 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两数差的绝对值最小时，称 $(k_{1}, k_{2})$ 为正整数n的最优分解，如 $(4, 5)$ 为20的最优分解．当 $(k_{1}, k_{2})$ 为n的最优分解时，定义 $f (n) = |k_{1} - k_{2}|$ ，则数列 $\{f (5^{n})\}$ 的前2025项和为．

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19、若“ $\forall x \in R, x^{2} - a x - 2 a > 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是.

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20、已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + \sin^{2} x} + \sin x)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, \ln (\sqrt{2} + 1)]$ C、当 $x > 0$ 时， $f (x) < x$ 桓成立 D、若 ${(f (x))}^{2} + a \cdot f (x) + 1 = 0$ 在 $x \in [0, 2025 π]$ 上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个

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