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相关试卷

1、已知点 $P$ 在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D, D$ 为垂足， $M$ 为线段 $P D$ 的中点（当点 $P$ 经过圆与 $x$ 轴的交点时，规定点 $M$ 与点 $P$ 重合）．

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、经过点 $(\sqrt{3}, 0)$ 作直线 $l$ ，与圆 $O$ 相交于 $A, B$ 两点，与点 $M$ 的轨迹相交于 $C, D$ 两点，若 $|A B| \cdot |C D| = \frac{8 \sqrt{10}}{5}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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2、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D / / E A$ ， $A D = P D = 2 E A = 2$ ， $F, G, H$ 分别为 $B P, B E, P C$ 的中点．

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $P D E$ ；

(2)、求平面 $F G H$ 与平面 $P B C$ 夹角的大小．

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3、已知函数 $f (x) = a x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (- 1) = 2$ .
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（2）求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上的最大值和最小值.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = n^{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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5、已知 ${(1 + x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则： $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2022} + a_{2024}$ 被 $3$ 除的余数是．

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6、函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x} < 0$ 的解集为．

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7、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数为2，则数据 $2 x_{1} + 3$ ， $2 x_{2} + 3$ ， $2 x_{3} + 3$ ， $2 x_{4} + 3$ ， $2 x_{5} + 3$ 的平均数为

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8、已知在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，第 $6$ 项为常数项，则（）

A、 $n = 10$ B、展开式中系数的绝对值最大的项是第 $4$ 项 C、含 $x^{2}$ 的项的系数为 $\frac{45}{4}$ D、展开式中有理项的项数为 $4$

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9、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，若不等式 $f (a x + 1) + f (ln \frac{1}{x}) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{2}{e^{2}} ， + \infty)$ D、 $[\frac{2}{e^{2}} ， + \infty)$

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10、某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（）

A、 $3520$ B、 $3720$ C、 $3680$ D、 $3940$

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11、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 $0.6$ 和 $0.5$ ，现已知目标被击中情况下，则甲击中目标的概率为（）

A、 $0.45$ B、 $0.4$ C、 $0.65$ D、 $0.75$

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12、如图，已知等腰直角三角形 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、复数 $z = (\sin θ - 2 \cos θ) + (\sin θ + 2 \cos θ) i$ 是纯虚数，则 $\sin θ \cos θ =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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14、 $89 \times 90 \times 91 \times \dots \times 100$ 可以表示为( )．

A、 $A_{100}^{10}$ B、 $A_{100}^{11}$ C、 $A_{100}^{12}$ D、 $A_{100}^{13}$

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15、以下是数学中对“曼哈顿距离”的定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，则 $d (P, Q) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 叫作 $P ､ Q$ 两点的曼哈顿距离，又称为折线距离或出租车距离等.某同学在上课听了老师对曼哈顿距离的介绍后，课后对它进行了研究.首先，把点P取在特殊直线 $y = x$ 上， $Q$ 取已知定点 $(m, n)$ ，即转化为函数 $f (x) = |x - m| + |x - n|$ （ $m, n$ 为常数）的问题；第二步，把两点取在一般直线上，转化为函数 $f (x) = |a x - m| + |b x - n| (a, b, m, n$ 为常数 $)$ 的问题；第三步，把两点分别取在直线与曲线上，设两点坐标，再求两点曼哈顿距离最值；……
请按该同学研究思路，完成以下问题：

(1)、求函数 $f (x) = |x + 1| + |x - 2|$ 的值域；

(2)、已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = |2 x + 1| + |a x - 2|$ 的最小值为2时，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知点 $P$ 在直线 $l : 2 x + 3 y - 6 = 0$ 上，点 $Q$ 坐标 $(x, y)$ 满足条件 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ ，求 $P ､ Q$ 两点间曼哈顿距离的最小值.

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16、如图矩形 $O A C B$ 中， $\vec{D A} = \frac{1}{2} \vec{A C}, \vec{A E} = λ \vec{A O}, \vec{B F} = λ \vec{B O}, λ \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，直线 $C F$ 与 $D E$ 相互垂直，垂足为点 $P$ .

(1)、求 $\frac{| \vec{A O} |}{| \vec{B O} |}$ 的值；

(2)、若 $| \vec{O A} | = 1$ .设 $\vec{C P} = x \vec{C F}, \vec{D P} = x \vec{D E}$ ，求 $x, y$ 关于 $λ$ 的表达式，并求 $| \vec{O P} |$ 的最大值.

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17、已知三角形内角 $A, B, C$ 对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b), \vec{n} = (sin B, cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A B = 4, A C = 2$ ，三角形边 $B C$ 上有一点 $D, B D = 2 D C$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，且 $A E = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积最小值.

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18、已知函数 $f (x) = a sin x cos x - b {cos}^{2} x + 1$ .

(1)、如果 $a = b = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的最小正周期与增区间；

(2)、如果 $a = 4, b = 2$ ，当 $x = x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 取得最大值，求 $tan x_{0}$ 的值.

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19、已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形.

(1)、求该圆锥的体积与表面积；

(2)、该圆锥内切球半径为 $R$ ，内接正方体棱长为 $a$ ，求 $R : a$ 的值.

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20、在正四面体ABCD中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点， $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ ，截面EFG将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是.

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