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相关试卷

1、已知直线 $l : (a^{2} + a + 1) x - y + 2 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(0, 2)$ B、当 $a = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直 C、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等 D、若直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行，则这两条平行直线之间的距离为 $\sqrt{2}$

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2、函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} sin x$ 的最大值为（）

A、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、0

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3、已知函数 $f (x) = 3 - x - \frac{2}{x}$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有（）

A、最大值 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、最大值 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、最小值 $3 - 2 \sqrt{2}$

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4、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $B D = 2 D A$ ，记 $\vec{C A} = \vec{m}, \vec{C B} = \vec{n}$ ，则 $\vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{m} + \frac{2}{3} \vec{n}$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x}{a e^{x - 1}}$ 和 $g (x) = \frac{a + \ln x}{x}$ 在同一处取得相同的最大值．

(1)、求实数a；

(2)、设直线 $y = b$ 与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），证明： $x_{1} x_{4} = x_{2} x_{3}$ ．

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6、第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{2}{3}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n ，易知 $p_{1} = 1, p_{2} = 0$ ．
①试证明： $\{p_{n} - \frac{1}{3}\}$ 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n ，比较p₁₀与q₁₀的大小．

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7、在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆 $Γ$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 $C$ 过 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $Q (- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的蒙日圆上一点 $M$ ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 $N$ ，若 $k_{O M}$ ， $k_{O N}$ 存在，证明： $k_{O M} \cdot k_{O N}$ 为定值.

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8、若 ${(1 - 2 x)}^{5} (x + 2) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3), \vec{b} = (x, 2)$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a},$ 则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{b} = (1, 2)$ B、 $|3 \vec{a} - \vec{b}| = 25$ C、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是45° D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量坐标是 $(- 1, 3)$

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10、已知数列{a_n}的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} = \{\begin{matrix} 2 n - 13, 1 \leq n \leq 6 \\ {(- 3)}^{n - 7} - 1, n > 6 \end{matrix}$ ，若 $S_{k} = - 32$ ，则k可能为（）

A、4 B、8 C、9 D、12

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11、在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲： $ln 3 < \sqrt{3} ln 2$ ；乙： $lnπ < \sqrt{\frac{π}{e}}$ ；丙： $2^{\sqrt{12}} < 12$ ；丁： $3 eln 2 > 4 \sqrt{2}$ ．所写为真命题的是（）

A、甲和乙 B、甲和丙 C、丙和丁 D、甲和丁

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12、已知F₁ ， F₂分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点P在双曲线上， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，圆O： $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4} (a^{2} + b^{2})$ ，直线PF₁与圆O相交于A，B两点，直线PF₂与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为 $9 b^{2}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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13、某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．
（1）小组赛：经抽签分成甲､乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主､客场交叉淘汰赛（每两队主､客场各赛1场），决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛的场数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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14、已知 $i^{5} = a + b i$ （ $a, b \in R$ ），则a+b的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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15、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\log_{2} (x - 1) < 0\}$ ， $B = \{x |\frac{2}{x} \geq 1\}$ ，则（）

A、 $∁_{U} A = [2, + \infty)$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A \cap (∁_{U} B) = \emptyset$ D、 $A \cup B = (- \infty, 2]$

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16、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 7 = 0$ 和圆 $C_{2} : {(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 12$ 交于两点，点 $P$ 在圆 $C_{1}$ 上运动，点 $Q$ 在圆 $C_{2}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 关于直线 $8 x + 6 y - 5 = 0$ 对称 B、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{23}$ C、 $|P Q|$ 的取值范围为 $[0, 5 + 2 \sqrt{3}]$ D、若 $M$ 为直线 $x - y + 8 = 0$ 上的动点，则 $|P M| + |M Q|$ 的最小值为 $\sqrt{109} - 4 \sqrt{3}$

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17、已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - (a + 2), x \in R$ ．

(1)、若不等式 $y < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a < 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 2 a x - (a + 2) > x - a$ ．

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18、（1）已知 $1 < a < 6$ ， $3 < b < 4$ ，求 $2 a - b$ ， $\frac{a}{b}$ 的取值范围
（2）已知 $a, b, x, y \in (0, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ， $x > y$ ，试比较 $\frac{x}{x + a}$ 与 $\frac{y}{y + b}$ 的大小.

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19、若a， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = a b + 3$ ，则 $a b$ 的最大值为．

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20、集合 $M = {(x, y) ∣ 2 x - y = 1}, N = {(x, y) ∣ 3 x + y = 0}$ ，则 $M \cap N =$

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