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相关试卷

1、已知点 $M (4, 1)$ ，若过点 $N (2, - 1)$ 的直线 $l$ 交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ 于 $A, B$ 两点， $R$ 是圆 $C$ 上的动点，则（）

A、 $|A B|$ 的最大值为6 B、 $|A B|$ 的最小值为4 C、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最小值为-1 D、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最大值为34

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} = a_{1} - 4, S_{7} = 147$ ，则（）

A、 $a_{1} = 28$ B、 $a_{4} = 21$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 为单调递减数列 D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 14$

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3、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $2 < t < 3$ D、若曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $2 < t < 4$

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4、已知直线 $l$ 过点 $P (- 2, 0)$ 交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于 $A, B$ 两相异点，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，过原点 $O$ 作直线 $A B^{'}$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $Q$ 点的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$ C、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ D、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$

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5、斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2023} =$ （）

A、 $a_{2025}$ B、 $a_{2024}$ C、 $a_{2025} - 1$ D、 $a_{2024} - 1$

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6、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G$ 分别是 $A_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $F G$ （含端点）上的动点，当 $P$ 由点 $F$ 运动到点 $G$ 时，三棱锥 $A - C E P$ 的体积（）

A、先变大后变小 B、先变小后变大 C、不变 D、无法判断

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

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8、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、以上都有可能

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9、已知平面 $α ⊥$ 平面 $β, α, β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1} = (1, 2, 3), \vec{n_{2}} = (0, x, 2)$ ，则实数 $x =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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10、下列方程所表示的直线中，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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11、一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $n$ 次.

(1)、已知质点每次向右移动的概率为 $p (0 < p < 1)$ .
①当 $p = \frac{1}{2}, n = 6$ 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了 $n$ 次，分别求出当 $n = 3$ 和 $n = 5$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小

(2)、现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $p_{1}$ 、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $p_{2}$ ，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含 $p_{1}, p_{2}$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 $p_{1} + p_{2} = 1 ，$ 则当 $p_{1}$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - a$ ， $g (x) = (a + 1) x^{2} - (1 + 2 a) x - a + 1 (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上最大值为2，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) > g (x)$ 的解集.

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13、已知 $\vec{m} = (- 2, t, 5)$ ， $\vec{n} = (3, - 2, t)$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，且 $α ⊥ β$ ，则t的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{2} = 2$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2^{n}$ D、若 $b_{n} = \frac{1}{{log}_{2} a_{n + 1} {log}_{2} a_{n + 2}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前10项和为 $\frac{10}{11}$

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15、已知 $x \in$ R ，则“ $|x - 3| < 1$ ”是“ $- x^{2} - x + 6 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}, \overset{⃑}{A D} = \vec{b}, \overset{⃑}{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{B M} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\overset{⃑}{A C_{1}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $A C_{1}$ 的长为 $\sqrt{5}$ D、 $\cos ⟨\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C_{1}}⟩ = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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17、古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高 $O P = 4$ ，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线 $E F ⊥ A B$ ，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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18、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M, P N,$ $M, N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $90^{\circ}$ ，则 $r$ 的值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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19、记为 $[m]$ 为不超过m的最大整数，设函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{1 + a^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），求 $y = [f (x) - \frac{1}{2}] + [f (- x) - \frac{1}{2}]$ 的值域.

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20、设 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $x + m y - m = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ， AB中点为Q，则 $|P Q|$ 的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、与m的取值有关

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