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相关试卷

1、在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 在 $B C$ 的延长线上， $C F = B C$ ，则异面直线 $A F$ 和 $D E$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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2、下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（）

A、该同学数学学科成绩一定下降 B、该同学政治学科成绩一定下降 C、该同学化学学科成绩可能下降 D、该同学语文学科成绩一定提升

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3、在空间中，有一平面 $α$ ，平面内有一直线 $l$ ，平面外有一点 $P$ ，下列说法正确的是（）

A、过点 $P$ 且与平面 $α$ 垂直的直线不止一条 B、过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线有且仅有一条 C、过点 $P$ 的直线 $l_{1}$ 与直线 $l$ 的夹角的余弦值有可能为 $- \frac{3}{5}$ D、过点 $P$ 的直线 $l_{1}$ 与平面 $α$ 的夹角的余弦值不可能为 $- \frac{3}{5}$

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4、已知 $a > 0$ ，则下列计算正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{3})}^{a} \times {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{a}} = \frac{2}{3}$ B、 $a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{1}{3}} = 0$ C、 $\frac{\ln a}{\log_{2} a} = \ln 2$ D、 $\log_{3} a + \log_{3} \frac{1}{a} = 1$

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5、已知 $\tan φ = \frac{4}{3} (φ \leq |\frac{π}{2}|)$ ，则 $\cos φ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6、函数 $f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{2}$ 的定义域为（）

A、 $R$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$

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7、复数 $1 + i$ 的模长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $- 1$

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8、已知集合 $A = \{0, 1, 3\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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9、某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量 $X$ （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 $\bar{X} = 300$ ，样本的标准差 $s = 50$ .

(1)、经分析，可以认为该款手机的日销售量 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用样本的平均值 $\bar{X}$ 作为 $μ$ 的近似值，用样本的标准差 $s$ 作为 $σ$ 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 $[350, 400)$ 之间的概率；

(2)、为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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10、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 相切于点 $P (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ ， $N$ 为椭圆上异于点 $P$ 的点，直线 $P M$ ， $P N$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，若 $tan ∠ P A B \cdot tan ∠ P B A = 1$ ，证明：直线 $M N$ 恒过定点.

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11、已知函数 $f (x) = a (e^{x} + sin x) - x - 1$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数.

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12、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ 和 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ E F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 夹角的余弦值.

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13、如图，在平面内的四个动点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 构成的四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = 4$ .

(1)、求 $△ A C D$ 面积的取值范围；

(2)、若四边形 $A B C D$ 存在外接圆，求外接圆面积.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $(2^{b_{n}} - 1) S_{n} = a_{n + 1}$ ，则满足 $T_{n} \geq 2$ 的正整数 $n$ 的最小值为.

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15、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 为双曲线渐近线上的点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{F_{2} M} = 0$ ，若 $|M F_{1}| = 2 |M F_{2}|$ ，则该双曲线的离心率 $e =$ .

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16、已知 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{5}{12}$ ，则 $P (B |\bar{A}) =$ .

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17、已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，对 $\forall x \in R$ ， $f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (2) = \sqrt{2}$ B、 $f (3) = 1$ C、 $f (- 1) = f (5)$ D、 $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{15}{2})$

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18、已知复数 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2$ ， $z_{3} = z_{1} + z_{2} = 2 i$ ，且 $z_{1}$ 在复平面内对应的点在第一象限，则以下结论正确的为（）

A、 $\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}} = \bar{z_{3}}$ B、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、 $z_{1} \cdot z_{2} = - 4$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = 2 - \sqrt{3} i$

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19、函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - e^{2} x - 2$ 的极小值为（）

A、 $e^{2} - 2$ B、 $- 2 e^{2} - 2$ C、 $2 - 2 e^{2}$ D、 $- 2 - e^{2}$

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20、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $\frac{2}{a^{2} + 2 a b} + \frac{1}{b^{2} + a b} = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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