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相关试卷

1、在复平面内， $O$ 为坐标原点，复数 $z_{1} = i (- 4 - 3 i)$ ， $z_{2} = 12 + 5 i$ 对应的点分别为 $Z_{1} 、 Z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $⟨\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}⟩$ 的大小为．

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2、已知抛物线 $x^{2} = a y (a > 0)$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为 $6$ ，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ ，则抛物线的焦点坐标为．

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3、 ${(x^{6} + \frac{1}{x \sqrt{x}})}^{5}$ 的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）

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4、若 $A, B, C, D, E$ 五人站成一排，如果 $A, B$ 必须相邻，那么排法共种.

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5、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} ln x + 1, x > 0, \\ 2^{x} + 1, x \leq 0. \end{array}$ 若 $f (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0} =$ ．

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6、已知 $x \in R$ ，则不等式 $x^{2} - x + 2 > 0$ 的解集为．

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7、若直线 $l_{1}$ ： $x + a y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ ．

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8、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{2, 4\}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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9、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n} (a_{1} \leq a_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq a_{n})$ 、 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n} (b_{1} \leq b_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq b_{n})$ 为两组正实数， $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， …， $c_{n}$ 是 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n}$ 的任一排列，我们称 $S = a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} c_{n}$ 为这两组正实数的乱序和， $S_{1} = a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + a_{3} b_{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{1}$ 为这两组正实数的反序和， $S_{2} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ 为这两组正实数的顺序和.根据排序原理有 $S_{1} \leq S \leq S_{2}$ ，即反序和≤乱序和≤顺序和.则下列说法正确的是（）

A、数组 $(1, 2, 3, 4)$ 和 $(1, 3, 5, 7)$ 的反序和为30 B、若 $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}^{2}$ ， $B = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n - 1} x_{n} + x_{n} x_{1}$ ，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} (x_{1} \leq x_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq x_{n})$ 都是正实数，则 $A \leq B$ C、设正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的任一排列为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ，则 $\frac{a_{1}}{c_{1}} + \frac{a_{2}}{c_{2}} + \frac{a_{3}}{c_{3}}$ 的最小值为3 D、已知正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} = P$ ， P为定值，则 $F = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{n - 1}^{2}}{x_{n}} + \frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}$ 的最小值为 $\frac{P}{2}$

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10、如图，点 $P$ 是棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B_{1} C$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $6 \sqrt{2}$ B、当直线 $A P$ 与 $A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{3}{2} π + 6 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ D、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F$ $∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，线段 $P F$ 长度最大值为 $3 \sqrt{2}$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们可以采用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y + c, \\ y^{'} = m x + n y + p \end{array}$ （其中 $a, b, c, m, n, p$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换成点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换．

(1)、将点 $P (x, y)$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后，所得新椭圆的方程；

(2)、将点 $P (x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，所得新椭圆的方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 满足 $x^{2} + x y + y^{2} + 2 x + y - 2 = 0$ ，证明：点 $P (x, y)$ 的轨迹是椭圆．

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12、在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ ．记点 $M$ 的轨迹是曲线 $C$ ，点 $D (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是曲线 $C$ 上的一点．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $x_{0} = 1$ ，直线l过点 $D$ 与曲线 $C$ 的另一个交点为 $E$ ，求 $△ O D E$ 面积的最大值；

(3)、过点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 作直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $O D ⊥ P Q$ ，证明： $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| O D |^{2}}$ 为定值．

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13、如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有 $A D = 2 B C = 2 A B = 2 C D = P B = P C$ ， E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上．

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $E Q ⊥ P F$ 时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值．

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记 $△ A B C$ 的面积为S，已知 $A + B = 2 C$ ．

(1)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径；

(2)、求 $\frac{S}{(a + b + c) (a + b - c)}$ 的值．

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15、已知圆C： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，点P（1，4），且直线l经过点P．

(1)、若l与C相切，求l的方程；

(2)、若l的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求l被圆C截得的弦长．

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16、设O是坐标原点， $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若 $∠ P F_{1} Q = 120 °$ ， $| P Q | = \sqrt{3} a$ ，则该椭圆的离心率是．

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17、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积是．

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18、点A（2，1）到直线l： $x - 2 y - 3 = 0$ 的距离是．

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19、棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）

A、记直线AO与直线AB的夹角是α，则 $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 $\sin β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、记 $| \vec{B P} - x \vec{B C} - y \vec{B D} | (x, y \in R)$ 的最小值为n，则 $n \in [0, \frac{\sqrt{6}}{6}]$ D、记 $\vec{A P}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $m \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |}$ ，则 $m \in [- \frac{\sqrt{6}}{12}, \frac{\sqrt{6}}{12}]$

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20、抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件 $A_{i} =$ “点数为i”，其中 $i = 1, 2, 3, 4$ ，则以下说法正确的是（）

A、若随机事件 $B_{1} =$ “点数不大于3”，则 $A_{1}$ 与 $B_{1}$ 互斥 B、若随机事件 $B_{2} =$ “点数为偶数”，则 $A_{2} \subseteq B_{2}$ C、若随机事件 $B_{3} =$ “点数不大于2”，则 $A_{3}$ 与 $B_{3}$ 对立 D、若随机事件 $B_{4} =$ “点数为奇数”，则 $A_{3} \cup A_{4}$ 与 $B_{4}$ 相互独立

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