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相关试卷

1、设函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} - 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求方程 $| f (x) | = \frac{1}{2}$ 的实数解；

(2)、当 $a = - 1$ 时，
（ⅰ）存在 $t \in [1, 2]$ ，使不等式 $f (t^{2} - 2 t) - f (2 t^{2} - k) > 0$ 成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数 $g (x) = 2 x + b$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数b的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{1 - 2 a}{a b}) x - \frac{2}{a}$ ， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ .

(1)、当 $b = 1$ ，且 $a < 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $a > 2$ ， $b > 2$ ， $f (1) = 0$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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3、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\tan α = 2$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan β$ 的值.

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4、已知函数 $y = \sqrt{2} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 和 $y = \sqrt{2} \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象相邻的两个交点为A，B，若 $\frac{5}{2} < |A B| \leq 2 \sqrt{2}$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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5、已知函数 $f (x) = \log_{a} (4 - a x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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6、若命题“ $\exists x \in [0, 1]$ ，使得 $2^{x} - a \geq 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围是.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1 - | 2 x - 3 |, 1 \leq x \leq 2, \\ \frac{1}{2} f (\frac{x}{2}), x > 2, \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - \frac{1}{6} x$ 有3个零点 B、关于x的方程 $f (x) - \frac{1}{2^{n}} = 0 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 4$ 个不同的解 C、对于实数 $x \in [1, + \infty)$ ，不等式 $2 x f (x) - 3 \leq 0$ 恒成立 D、在区间 $[2^{n - 1}, 2^{n}] (n \in N^{*})$ 内，函数 $f (x)$ 的图象与x轴围成的图形的面积为 $\frac{1}{2}$

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8、若实数a，b满足 $a^{2} + b^{2} - n a b = 9$ ， $n \in R$ ，则下列说法正确的为（）

A、当 $n = 1$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为18 B、当 $n = 1$ 时， $a + b$ 的最小值为 $- 6$ C、当 $n = 3$ 时，ab的最小值为 $- 9$ D、当 $n = 3$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{18}{5}$

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9、若集合 $A = \{(m, n) |m \leq - 2, 0 < n \leq t\}$ ， $\forall (m, n) \in A$ ，均有 $m \log_{4} n - n - 3 m \geq 0$ 恒成立，则t的最大值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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10、在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点A、顺时针旋转角 $β$ （ $\frac{π}{4} < β < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为 $\frac{12}{13}$ ，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则点B的纵坐标为（）

A、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{26}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{26}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{13}$

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11、若关于x的不等式 $x^{2} - (m + 1) x + 9 \leq 0$ 在区间 $[1, 4]$ 上有解，则实数m的最小值为（）

A、9 B、6 C、 $\frac{21}{4}$ D、5

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，设 $a = {0.3}^{2}, b = {log}_{2} 0.3, c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $f (a) < f (c) < f (b)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (c) < f (a) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) < f (a)$

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13、已知集合 $A = {- 1, 1, 2, 4}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 2}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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14、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ， $E$ 为 $C D$ 中点，且 $\vec{A F} = λ \vec{A D} (0 \leq λ \leq 1)$ ， .设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ ；

(2)、若 $\vec{A N} ⊥ \vec{B N}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $\vec{B F} \cdot \vec{F E}$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x + 3 {cos}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、求 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $x \in [0, 2 π]$ 上所有实数根的和.

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17、如图，设E、F、G分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的共点的三条棱 $A_{1} B_{1}$ 、 $B_{1} B$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体 $B_{1} E F G$ . 设正方体的棱长为1.

(1)、在四面体 $B_{1} E F G$ 中，求顶点 $B_{1}$ 到底面 $E F G$ 的距离；

(2)、如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积.

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对应边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 c + b) \cos A + a \cos B = 0$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，周长为15，求 $a$ ．

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19、若 $\sin (\frac{π}{12} - \frac{α}{2}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) =$ .

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20、已知复数 $z$ 满足： ${(1 - i)}^{2} z = 4 + 2 i^{2024}$ ，则 $|z| =$ .

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