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相关试卷

1、已知直线 $l$ ： $x - m y + m - 2 = 0$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 恒有两个交点 $A 、 B$ ．

(1)、求 $p$ 的取值范围；

(2)、当 $m = 1$ 时，直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，求此时线段 $A B$ 的长度．

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2、已知点 $D (1, \sqrt{2})$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，且双曲线的一条渐近线的方程是 $\sqrt{3} x + y = 0$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $(0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 仅有一个交点，求实数 $k$ 的值．

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3、在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B是直线l： x-2y - 2= 0的动点，则|AB|的最小值为．

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4、若曲线y= $\sqrt{4 x - x^{2}}$ 与直线y= $\frac{3}{4}$ x+b有公共点，则b的取值范围是.

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5、已知动圆过 $A (4, 0)$ ， $B (0, - 2)$ 两点，面积最小时的圆记为圆C，则圆C的方程为；过点 $M (1, - 2)$ 的直线与圆C交于E，F两点，则 $|E F|$ 的最小值为.

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6、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (2, 0)$ ，直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，P是抛物线C上的任意一点，Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（）

A、若点P的横坐标为1，则 $|P F| = 5$ B、若 $\vec{M F} = 2 \vec{F N}$ ，则直线l的斜率为 $\sqrt{3}$ C、 $\tan ∠ M O N$ 有最大值 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{|P F|}{|P Q|}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A_{1} B_{1}$ ， AB的中点，则下列结论正确的是（）

A、点B到直线 $A_{1} C_{1}$ 的距离为 $\sqrt{6}$ B、直线CF到平面 $A E C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A E C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、直线 $A_{1} C_{1}$ 与直线 $B_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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8、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，公差为d，若 $S_{9} = a_{5} + a_{12} ， a_{1} ＞ 0$ ，则以下结论一定正确的是（）

A、 $d ＜ 0$ B、 $S_{2} = S_{5}$ C、 $|a_{1}| ＞ |a_{9}|$ D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 3$

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9、以圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x + 1 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 1 = 0$ 相交的公共弦为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x + \frac{3}{5})}^{2} + {(y + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5}$ D、 ${(x - \frac{3}{5})}^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5}$

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10、已知A为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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11、虚轴长为2，离心率 $e = 3$ 的双曲线两焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交双曲线的一支于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 8$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、3 B、16+ $\sqrt{2}$ C、12+ $\sqrt{2}$ D、24

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12、已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $P B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{2} - k_{1} = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹为不包含 $A$ ， $B$ 两点的（）

A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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13、若直线 $x - y + a = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $∠ A O B = 120 °$ （ $O$ 为坐标原点），则 $|a| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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14、直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 的倾斜角及在y轴上的截距分别是（）

A、 $60 °$ ， 2 B、 $60 °$ ， $- 2$ C、 $120 °$ ， $- 2$ D、 $120 °$ ， 2

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15、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} c sin A = 2 a {cos}^{2} \frac{C}{2}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A C$ 上一点，且 $B D = B C = \frac{\sqrt{3}}{3} A B$ ，求 $\frac{C D}{A D}$ 的值．

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16、如图所示，棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $A_{1} B$ 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} P ⊥ A B_{1}$ B、 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ C、 $\vec{A P} \cdot \vec{D C_{1}}$ 是定值 D、当 $A_{1} P = 2 P B$ 时，点 $C_{1}$ 到平面 $D_{1} A P$ 的距离为2

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17、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{|x|} + m - 1$ 至少有一个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $0 \leq m < 1$ D、 $0 \leq m \leq 1$

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18、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{9} = 34$ B、 $S_{7} = 32$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2024} = a_{2025}$ D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2023}^{2} = a_{2023} a_{2024}$

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19、过曲线 $y = f (x)$ 上一点 $P$ 作其切线，若恰有两条，则称 $P$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”；过曲线 $y = f (x)$ 外一点 $Q$ 作其切线，若恰有三条，则称 $Q$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”；若点 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”或“ $B$ 类点”，且过 $R$ 存在两条相互垂直的切线，则称 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

(1)、设 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ，判断点 $P (1, 1)$ 是否为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = x^{3} - m x$ ，若点 $Q (2, 0)$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”，且过点 $Q$ 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数 $m$ 的值；

(3)、设 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，证明： $y$ 轴上不存在 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

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20、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过坐标原点的直线交椭圆于A、 $B$ 两点，点A在第一象限．

(1)、若 $|O A| = \sqrt{6}$ ，求点A的坐标；

(2)、求 $|\vec{A F_{1}} + 3 \vec{A F_{2}}|$ 的取值范围；

(3)、若 $A E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，连结 $B E$ 并延长交椭圆于点 $C$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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