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相关试卷

1、申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小 $A$ 、高二小 $B$ 分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．

二分球出手
二分球命中率
三分球出手
三分球命中率
小 $A$
100次
$80 %$
100次
$40 %$
小 $B$
190次
$70 %$
10次
$30 %$
现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校 $MVP$ （总投篮命中率 $=$ 总命中次数÷总出手次数）

(1)、小 $C$ 认为，目测小 $A$ 的二分球命中率和三分球命中率均高于小 $B$ ，此次必定能评为校 $MVP$ ，试通过计算判断小 $C$ 的想法是否准确？

(2)、小 $D$ 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小 $a$ 、小 $b$ 轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小 $a$ 的命中率始终为0.4，小 $b$ 的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为 $k (3 \leq k \leq 20, k \in Z)$ 次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第 $k$ 次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“ $k$ ”的值，请解答以下两个问题．
（ⅰ）若小 $a$ 第一次投篮，请证明小 $a$ 获胜概率大；
（ⅱ）若小 $b$ 第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．

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2、如图，已知 $A B$ 为圆柱 $O O_{1}$ 底面圆 $O$ 的直径， $O A = 2$ ，母线 $A A_{1}$ 长为3，点 $P$ 为底面圆 $O$ 的圆周上一点．

(1)、若 $∠ B O P = 90 °$ ，求三棱锥 $A - P B A_{1}$ 的体积；

(2)、若 $∠ B O P = 60 °$ ，求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A P$ 所成的角的余弦值．

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3、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \sin ω x$ ， $ω > 0$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，求 $ω$ 的值及 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $ω = 2$ ，设函数 $y = g (x)$ 的表达式为 $g (x) = f (x) + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，求当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $y = g (x)$ 的值域．

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4、设函数 $y = F (x)$ ， $y = G (x)$ 的定义域均为 $R$ ，值域分别为 $A$ 、 $B$ ，且 $A \cap B = \emptyset$ ．若集合S满足以下两个条件：（1） $A \cup B \subseteq S$ ；（2） $∁_{S} (A \cup B)$ 是有限集，则称 $y = F (x)$ 和 $y = G (x)$ 是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数 $y = f (x)$ ，使得 $y = 2^{f (x)}$ 和 $y = {log}_{2} f (x)$ 是 $[0, 16]$ -互补函数；②存在函数 $y = g (x)$ ，使得 $y = \sin g (x)$ 和 $y = \tan g (x)$ 是 $[0, + \infty)$ -互补函数．则（）

A、①②都是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①②都是假命题

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5、对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（）

A、中位数 B、众数 C、平均数 D、方差

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6、设 $m$ 、 $n$ 为两条直线， $α$ 、 $β$ 为两个平面，且 $α \cap β = n$ ．下述四个命题中为假命题的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m / / α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ 且 $m / / β$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / n$ ，则 $m / / α$ 或 $m / / β$

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7、若实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a^{2} > b^{2}$ ，下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a > b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ D、 $a > |b|$

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8、已知在复数集中，等式 $x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = (x - z_{1}) (x - z_{2}) (x - z_{3}) (x - z_{4})$ 对任意复数 $x$ 恒成立，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ， $z_{4}$ 在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点， $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\} \subset \{n | 1 \leq n \leq 2024, n \in Z\}$ ，则满足条件的不同集合 $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ 个数为．

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9、已知空间中三个单位向量 $\vec{O A_{1}}$ 、 $\vec{O A_{2}}$ 、 $\vec{O A_{3}}$ ， $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O A_{2}} = \vec{O A_{2}} \cdot \vec{O A_{3}} = \vec{O A_{3}} \cdot \vec{O A_{1}} = 0$ ， $P$ 为空间中一点，且满足 $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{1}}| = 1$ ， $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{2}}| = 2$ ， $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{3}}| = 3$ ，则点 $P$ 个数的最大值为．

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10、某地要建造一个市民休闲公园长方形 $A B C D$ ，如图，边 $A B = 2 km$ ，边 $A D = 1 km$ ，其中区域 $A D E$ 开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且 $A$ 、 $D$ 位于圆心 $O$ 的正北方向， $E$ 位于圆心 $O$ 的北偏东60°方向．拟定在圆弧 $P$ 处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边 $D C$ 、 $C B$ 开设两个门 $M$ 、 $N$ ，修建步行道 $P M$ 、 $P N$ 通往渔人码头，且 $P M ⊥ C D$ 、 $P N ⊥ C B$ ，则步行道 $P M$ 、 $P N$ 长度之和的最小值是 $km$ ．（精确到0.001）

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11、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，双曲线上的点 $P$ 在第一象限，且 $P F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为．

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12、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{cases} {(\frac{1}{2})}^{x} - 3, x \leq 0 \\ x^{2}, x > 0 \end{cases}$ ，则不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为．

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13、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{7} + a_{8} + a_{9} = 0$ ， $a_{7} + a_{10} = 1$ ，则 $a_{1} =$ ．

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14、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则 $3^{a} + 9^{b}$ 的最小值为．

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15、在 $△ A B C$ 中， $B C = 5$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 105 °$ ，则 $A C =$ ．

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16、已知复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = a + 4 i$ ， $a \in R$ ，若 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数，则 $|z_{2}| =$ ．

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17、若对数函数 $y = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(4, 2)$ ，则实数 $a =$ .

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18、已知 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2}), N (\frac{- \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两点．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的上顶点 $A$ 和右焦点 $F$ 的直线与椭圆 $E$ 交于另一个点B，P为直线 $x = 2$ 上的动点，直线 $A P, B P$ 分别与椭圆 $E$ 交于 $C$ （异于点 $A$ ）， $D$ （异于点 $B$ ）两点，证明：直线 $C D$ 经过点 $F$ ．

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19、如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知 $A B / / C D, A D ⊥ C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ E D$ ；

(2)、求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值；

(3)、线段上EC上是否存在点 $M$ ，使平面 $M D F ⊥$ 平面BDF？若存在，求出 $\frac{E M}{E C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20、某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为 $[25, 35) 、 [35, 45) 、 [45, 55) 、 [55, 65) 、 [65, 75) 、 [75, 85) 、 [85, 95]$ 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

(3)、假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？

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	二分球出手	二分球命中率	三分球出手	三分球命中率
小 $A$	100次	$80 %$	100次	$40 %$
小 $B$	190次	$70 %$	10次	$30 %$