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相关试卷

1、《几何原本》里提出：“球的体积（ $V$ ）与它的直径（ $D$ ）的立方成正比”，即 $V = k D^{3}$ ，其中常数 $k$ 称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 $V = k D^{3}$ 求体积（在等边圆柱中， $D$ 表示底面圆的直径；在正方体中， $D$ 表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为 $a$ ）、正方体（棱长为 $a$ ）、球（直径为 $a$ ）的“立圆率”分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ B、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ C、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ D、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\frac{1}{2} \vec{B D} - \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{C A}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{C A}$

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3、复数 $\frac{5}{- 2 + i} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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4、已知向量 $\vec{m} = (sin x, sin (π - x)), \vec{n} = (2 \sqrt{3} sin x, 2 cos x)$ ，设 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $f (x_{0} - \frac{π}{6}) = \frac{14}{25}, x_{0} \in [\frac{3 π}{4}, π]$ ，求 $sin 2 x_{0}$ 的值；

(3)、令函数 $g (x) = f (x) f (x + \frac{π}{6})$ ，求 $g (x)$ 值域.

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2 x + 3, - x)$ ， $\vec{c} = (3, 5)$ ， $x \in R$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $|2 \vec{a} + \vec{b}|$ 的值．

(3)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角是锐角，求x的取值范围．

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6、已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为．

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7、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ .则（）

A、若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $△ A B C$ 是钝角三角形，则 $0 < A C < 2$ C、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $2 \sqrt{3} < B C < 4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{A C}{B C}$ 的最大值是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8、已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), tan 2 α = \frac{cos α}{2 - sin α}$ ，则 $sin (α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{- 1 - 3 \sqrt{5}}{8}$ D、 $\frac{- 1 + 3 \sqrt{5}}{8}$

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9、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为 $150 π$ ，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{35 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{175 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{875 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $875 \sqrt{3} π$

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10、已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 2)$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{2}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ D、 $(1, \sqrt{3})$

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11、若复数 $z$ 满足 $(- 1 + i) z = 1 + 2 i$ （其中i是虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2} i$

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12、 ${(2 x + \frac{1}{x} - 2)}^{4}$ 展开式中 $x^{2}$ 项系数为（）

A、32 B、64 C、96 D、128

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13、咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、360种

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14、杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
日期 $t$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量 $y$ （万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
经计算可得： $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1.85, \sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i} = 96, \sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2} = 385$ .

(1)、因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；

(2)、该景点推出团体票，每份团体票包含5张门票，其中 $X$ 张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品）， $X$ 的分布列如下：
$X$
2
3
4
5
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{12}$
今从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票，求该份团体票中共有4张有奖门票的概率.
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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15、已知 $a = \frac{7}{8}, b = e^{- \frac{1}{7}}, c = 1 + ln \frac{8}{9}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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16、已知 $M$ 是边长为3的正 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A M} = 2 λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C} (λ \in R)$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值为．

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin C = c sin \frac{B + C}{2}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b + c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是利用斜二测画法画出的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $A^{'} C^{'} ∥ y^{'}$ 轴， $A^{'} B^{'} ∥ x^{'}$ 轴，且 $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的边 $B C =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、 $2 \sqrt{2}$

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19、函数 $f (x) = 2 ln x - x + \frac{1}{x}$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $ln 2 < \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n - 1}$ ；

(3)、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ， $ln x_{1} + \frac{1}{x_{1}^{2} x_{2}} = ln x_{2} + \frac{1}{x_{2}^{2} x_{1}}$ ，比较 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ 与2的大小，并说明理由.

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20、平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $F (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ，动点 $P$ 满足以 $P F$ 为直径的圆与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 内切，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $M$ 是曲线 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，过 $M$ 斜率存在的直线交曲线 $E$ 于两不同点A、B，射线 $M O$ 交曲线 $E$ 于 $Q$ 点.
（ⅰ）证明： $\frac{|M O|}{|O Q|}$ 为定值；
（ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的取值范围.

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日期 $t$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售量 $y$ （万张）	1.93	1.95	1.97	1.98	2.01	2.02	2.02	2.05	2.07	0.5

$X$	2	3	4	5
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$