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相关试卷

1、设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$

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2、①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ，且 $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ ，则 $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ ；
②设 $a > 0$ ， k是大于1的正整数，若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in [0, a]$ ，均有 $f (x) \geq f (\frac{x}{k})$ 成立，且 $lim_{x \to 0} f (x) = 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为区间 $[0, a]$ 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)、证明 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 不是区间 $[0, 3]$ 上的2阶无穷递降函数；

(2)、计算： $lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ ；

(3)、记 $f (t) = \frac{tan t \cdot {sin}^{2} t}{t^{3}}$ ， $t \in (0, \frac{π}{2})$ ；求证： $f (t) > 1$ .

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3、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - ln x + x - 2 a$ ， $a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x - 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in [- 2, 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值．

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5、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = 2 x \ln 2 x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ， $t > 0$ ，则 $\frac{\ln t}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为

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6、已知 $n \in N^{*}$ ，满足 $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} = 243$ ，则 ${(x^{2} + x + y)}^{n}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为.

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7、根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为，周一、周二都有专家参加调研活动的种数为.

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8、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + ln x$ ，下列说法正确的是（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正整数k，使得 $f (x) > k x$ 恒成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$

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9、A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A、若A、B两人站在一起有24种方法 B、若A、B不相邻共有72种方法 C、若A在B左边有60种排法 D、若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法

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10、使函数 $f (x) = x e^{x} - x - ln x - a$ 在 $(0, e]$ 上存在零点的实数a的范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $[e, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = x - \ln |x|$ ，则 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列求导不正确的是（）

A、 $(3 x^{2} + \cos x)^{'} = 6 x - \sin x$ B、 $(x \cdot e^{x})^{'} = (x + 1) e^{x}$ C、 $(2 \sin 2 x)^{'} = 2 \cos 2 x$ D、 $(\frac{\sin x}{x})^{'} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}}$

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13、已知 $C_{18}^{x + 2} = C_{18}^{x - 4}$ ，则x的取值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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14、全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ，在实践技能考试中“合格”的概率依次为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ，所有考试是否合格互不影响.

(1)、求甲没有获得执业医师证书的概率；

(2)、这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.

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15、已知向量 $\vec{a} = (3, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3, t)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2}{7}$ ，则 $t$ 的取值可以是（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $4$ D、 $\pm 2$

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16、下列说法中正确的是（）

A、若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B、方程 $(x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ 能表示平面内经过两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 的任何直线 C、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的圆心为 $(1, - 2)$ ，半径为 $\sqrt{5}$ D、若直线 $(2 t - 3) x + 2 y + t = 0$ 不经过第二象限，则 $t$ 的取值范围是 $[0, \frac{3}{2}]$

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17、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆 $C$ 于A，B两点，若 $|A F_{1}| = 3 |A F_{2}|$ ，点 $M$ 满足 $\vec{F_{1} M} = 3 \vec{M F_{2}}$ ，且 $A M ⊥ F_{1} B$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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18、已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = a_{n} - 4 a_{n + 1}$ ， $a_{1} = - 1$ .

(1)、证明：数列 ${2 a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 4}}{n (n + 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和；

(3)、是否存在正整数p，q（ $p < 6 < q$ ），使得 $S_{p}$ ， $S_{6}$ ， $S_{q}$ 成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.

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19、在 $△ A B C$ 中， $c = 2 b \cos B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．
（1）求 $∠ B$ ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $B C$ 边上中线的长．
条件①： $c = \sqrt{2} b$ ；
条件②： $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ；
条件③： $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；

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20、已知 $α, β$ 为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．（1）求 $\cos 2 α$ 的值；（2）求 $\tan (α - β)$ 的值．

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