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相关试卷

1、在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $P$ ， $Q$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $B_{1} P Q C_{1}$ 是矩形；

(2)、若 $A_{1} B_{1} = A_{1} A$ ，求直线 $A C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、若一只电子猫从点 $A$ 出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在 $n (n \in N^{*})$ 次运动后电子猫仍停留在下底面 $A B C$ 的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{n}$ .

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2、设有限集合 $U = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{m}\}$ ，其中 $m \geq 4$ ， $m \in N^{*}$ ，非空集合 $M \subseteq U$ ， $\bar{M} = C_{U} M$ ，若存在集合 $M$ ，使得 $M$ ， $\bar{M}$ 中的所有元素之和相等，则称集合 $U$ 是“可拆等和集”，则（）

A、集合 $U = \{1, 2, 4, \dots, 2^{2025}\}$ 不是“可拆等和集” B、若集合 $U = \{- 1, 2, 5, k\}$ 是“可拆等和集”，则 $k$ 的取值共有6个 C、存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ ，使得集合 $U$ 是“可拆等和集” D、若 $m = 4 k + 3$ ， $k \in N^{*}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列且公差 $d = a_{1}$ ，则集合 $U$ 是“可拆等和集”

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (x) + f^{'} (x) = 2 e^{x}$ ，若 $k [f (x) - e^{x}] \leq x$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{e}]$ B、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $[- 1, 0)$

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4、有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（）

A、18 B、36 C、72 D、144

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5、已知直线l与平面 $α$ 相交于点P，则（）

A、 $α$ 内不存在直线与l平行 B、 $α$ 内有无数条直线与l垂直 C、 $α$ 内所有直线与l是异面直线 D、至少存在一个过l且与 $α$ 垂直的平面

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6、已知 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x - 1, x \geq 0 \\ x^{2} + 1, x < 0 \end{cases}$ ，则 $f (- 1) =$ .

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7、已知 $a > 0$ ，则 $a + \frac{16}{a}$ 的最小值为（）

A、1 B、4 C、8 D、16

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8、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 折起，使得点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，如图2，且二面角 $P - D E - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $P D C$ 的距离；

(3)、在棱 $P E$ 上是否存在点 $G$ ，使得 $B G$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ？若存在，求 $P G$ 的长；若不存在，请说明理由．

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知 $(2 a \cos C + 2 c \cos A) \cos A = b$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、如图， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A D = 2$ ，求 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 图象，若不等式 $g (x) - m \leq 4$ 对任意 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 成立，求m的取值范围.

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11、已知角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 3, y)$ ，且 $\tan α = - \frac{4}{3}$ .

(1)、求 $\sin (π - α) + \sin (\frac{π}{2} + α)$ 的值；

(2)、将 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ ，此时终边所对应的角为 $β$ ，求 $\sin (α + β)$ 的值.

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为45°，且满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影长度；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，求 $k$ 的值.

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13、解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为 $30^{\circ} ， 45^{\circ} ， 60^{\circ}$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则解放碑的高AB为.

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14、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $\cos (α - β) = \frac{1}{6}$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α \tan β =$ .

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15、已知圆锥的底面半径 $r = 2$ ，高为 $h = 4 \sqrt{2}$ ，则这个圆锥的表面积是.

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16、如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（）

A、 $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - 1$

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17、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $b = 7$ ，如果 $△ A B C$ 有两解，则 $a$ 的值可能为（）

A、9 B、 $7 \sqrt{2}$ C、11 D、12

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18、一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、12 B、16 C、 $16 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{3}$

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19、用斜二测法画水平放置的边长为 $2$ 的正三角形，所得直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{A B} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 4 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 5 \vec{a} + 7 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A，B，D B、A，B，C C、A，C，D D、B，C，D

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