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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知 $a \cos B = b \sin A$ .

(1)、求B；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $c = 3$ ，求b的值.

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中， $M, N$ 分别是线段 $A B, B C$ 的中点

(1)、令 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}$ ，试用向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 表示 $\overset{⃑}{D M}, \overset{⃑}{D N}$ ；

(2)、若 $D M = 1$ ， $D N = 2$ ， $∠ M D N = \frac{π}{3}$ ，求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 的值；

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3、已知 $\vec{a} = (1 ， 2), \vec{b} = (- 3 ， 1)$

(1)、求 $\vec{a} - \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $cos θ$ 的值；

(3)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值.

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4、已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}$ ．
（1）求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；
（2）求 $| \vec{a} + \vec{b} | .$

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5、化简

(1)、 $\vec{A B} - \vec{A D} - \vec{D C}$ ；

(2)、 $（ \vec{A B} - \vec{C D} ） - （ \vec{A C} - \vec{B D} ）$ ．

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6、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a^{2} \cos A \sin B = b^{2} \sin A \cos B,$ ，则 $△ A B C$ 的形状为

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7、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $C = \frac{π}{3}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b}{\sin A + \sin B}$ 的值为．

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8、设 $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，且向量 $\vec{a} = 2 \overset{⃑}{e_{1}} - \overset{⃑}{e_{2}}$ 与向量 $\vec{b} = \overset{⃑}{e_{1}} + λ \overset{⃑}{e_{2}}$ 是共线向量，则实数 $λ =$ .

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9、已知向量 $\overset{⃑}{A B} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{B C} = (- 2, 1)$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的值为.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = \sqrt{2}$ ， $A = 45 °$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $b = \sqrt{5}$ ，则 $△ A B C$ 无解 B、若 $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 恰有一解． C、若 $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解． D、若 $b = 1$ ，则 $△ A B C$ 有两解．

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11、关于平面向量 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 、 $\overset{⃑}{c}$ ，下列说法不正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} // \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{c}$ B、 $(\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{a} \cdot (\overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c})$ C、若 $\overset{⃑}{a} \cdot (\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}) = 3$ ，且 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = 1$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ D、若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = \overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{c}$

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12、下列结论恒为零向量的是（）

A、 $\vec{A B} - (\vec{B C} + \vec{C A})$ B、 $\vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B D} - \vec{C D}$ C、 $\vec{O A} - \vec{O D} + \vec{A D}$ D、 $\vec{N O} + \vec{O P} + \vec{M N} - \vec{M P}$

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13、在等腰直角三角形ABC中，若 $∠ C = 90 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C A} =$ （）

A、2 B、-2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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14、在 $△ A B C$ 中，若 $A = 105^{\circ}$ ， $C = 30^{\circ}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，则边 $c =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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15、若向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 3)$ ， $\vec{b} = (n, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成角为锐角，则n的取值范围是（）

A、 $n > 1$ B、 $n > - 3$ 且 $n \neq 1$ C、 $n > - 3$ D、 $- 3 < n < 1$ 且 $n \neq 0$

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16、化简 $\frac{1}{3} [\frac{1}{2} (2 \vec{a} + 8 \vec{b}) - (4 \vec{a} - 2 \vec{b})]$ 的结果是 $($ 　　 $)$

A、 $2 \vec{a} - \vec{b}$ B、 $2 \vec{b} - \vec{a}$ C、 $\vec{b} - \vec{a}$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$

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17、如果向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，那么 $| \overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b} | =$

A、6 B、5 C、4 D、3

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18、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位： $mg/L$ ）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0}$ ， k是正的常数.如果在前5h消除了 $10 %$ 的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（）

A、 $27.1 %$ B、 $70 %$ C、 $72.9 %$ D、 $81 %$

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19、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 的短轴长为2．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 过点 $D (0, \frac{1}{2})$ ，且与椭圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，又点 $P$ 是椭圆 $C$ 的下顶点，当 $△ P M N$ 面积最大时，求直线 $l$ 的方程．

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.

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