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相关试卷

1、直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 $y = k x + 1 (k \in R)$ 表示过点 $(0, 1)$ 的直线族（不包括直线 $y$ 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

(1)、圆 $M$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 是直线族 $m x + n y = 1 (m, n \in R)$ 的包络曲线，求 $m$ ， $n$ 满足的关系式；

(2)、若点 $N (x_{0}, y_{0})$ 不在直线族 $Ω : y = t x - t^{2} (t \in R)$ 的任意一条直线上，求 $y_{0}$ 的取值范围及直线族 $Ω$ 的包络曲线 $E$ 的方程；

(3)、在（1）（2）的条件下，过曲线 $E$ 上动点 $P$ 向圆 $M$ 做两条切线 $P A$ ， $P B$ ，交曲线 $E$ 于点 $A$ ， $B$ ，求 $△ P A B$ 面积 $S$ 的最小值.

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的三边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sqrt{2} a - b}{c} = \sqrt{2} cos B$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $c = 1$ ， $2 tan A = 3 tan B$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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3、若 $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 2 (x - 2) + 2$ ，已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，首项 $a_{1} = \frac{1}{20}$ ， $a_{n} = a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{79} f (a_{i}) =$ .

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4、抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上一点且 $|P F| = 3$ ， $O$ 为坐标原点，则 $S_{△ O P F} =$ .

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $Q$ 是线段 $A B$ 的中点， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的动点（含端点），则下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $P - A_{1} Q C$ 的体积为定值 B、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内部能够放入一个表面积为 $4 π$ 的球 C、直线 $P Q$ 与 $A C$ 所成角的正切值的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $A_{1} P + P Q$ 的最小值为 $\sqrt{10 + 2 \sqrt{6}}$

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6、古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为 $r$ 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点 $A (2 \sqrt{3}, - 2)$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过 $t$ 秒后，水斗旋转到 $P$ 点，设 $P$ 点的坐标为 $(x, y)$ ，其纵坐标满足 $y = r sin (ω t + φ) (t \geq 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，当 $t = 45$ 秒时， $|P A| =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ D、4

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7、为研究光照时长 $x$ （小时）和种子发芽数量 $y$ （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对 $x$ ， $y$ 进行线性回归分析.若在此图中加上点 $P$ 后，再次对 $x$ ， $y$ 进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A、 $x$ ， $y$ 不具有线性相关性 B、决定系数 $R^{2}$ 变大 C、相关系数 $r$ 变小 D、残差平方和变小

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8、已知复数 $z = 1 - i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $|z^{2} + \bar{z}|$ （）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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9、下列说法正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = n^{2} + 1$ ，则 $a_{n} = 2 n - 1$ B、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{1} = 20, S_{10} = S_{16}$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 中 $S_{13}$ 最大 C、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{5} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前9项和为定值 D、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} > 0, S_{4} = S_{12}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最大的 $n$ 为15

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10、已知△ABC是边长为1的正三角形， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}, P$ 是BN上一点且 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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11、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{6}}{3}, A B = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，则 $A A_{1}$ 与底面ABCD所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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12、已知两个数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的项数均为 $p$ ，且对于数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, p$ ，若存在 $b_{k}$ 满足：① $\forall i \in \{1, 2, \dots, k\}$ ，都有 $a_{i} \leq b_{k}$ ；② $\exists i \in \{1, 2, \dots, k\}$ ，使得 $a_{i} = b_{k}$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的单极数列.

(1)、已知 $a_{n} \in N^{*}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 的单极数列为 $1, 2, 2, 3, 3, 3$ ，求满足条件的 $\{a_{n}\}$ 的个数.

(2)、已知 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的单极数列.
（i）若 $a_{k + 1} + 2 b_{p - k} = k$ ，求 $a_{k} - b_{k}$ .
（ii）若 $a_{n} = \{\begin{matrix} λ n^{2} - {(- 1)}^{\frac{n + 1}{2}} \cdot n, n 为奇数 \\ λ n^{2} - {(- 1)}^{\frac{n}{2}} \cdot n, n 为偶数 \end{matrix}$ ，当 $\frac{1}{2} < λ < 1$ 时，证明： $0 < \sum_{i = 1}^{100} (b_{i} - a_{i}) < 1263$ .

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13、已知集合 $M = \{x| y = ln (1 - 2 x)\}, N = \{y| y = e^{x}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $\emptyset$

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14、著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 $S = a b π$ （a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且右顶点A与上顶点B的距离 $|A B| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆C的面积；

(2)、若直线l交椭圆C于P，Q两点，
（ⅰ）求 $△ O P Q$ 的面积的最大值（O为坐标原点）；
（ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A， $A D ⊥ P Q$ ， D为垂足．是否存在定点T，使得 $|D T|$ 为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由．

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15、已知 $a = π^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{π}$ ， $c = \log_{π} 0.2$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c < b < a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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16、若方向向量为 $(1, - 2)$ 的直线 $l$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ 相切，则直线 $l$ 的方程可以是（）

A、 $x + 2 y + 7 = 0$ B、 $2 x + y + 3 = 0$ C、 $x + 2 y - 6 = 0$ D、 $2 x + y - 6 = 0$

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17、已知函数 $f (x) = k x + ln x - \frac{5}{4} k (k \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - k x + \frac{1}{x}$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + \ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线斜率为1，求该切线的方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \cos C - \frac{1}{2} c = b$ ．

(1)、求A；

(2)、点D在线段BC上， $A D ⊥ A C$ ， $\frac{B D}{C D} = \frac{1}{4}$ ，求 $\tan ∠ A C B$ 的值．

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20、已知曲线 $f (x) = e^{2 x} - 2 e^{x} + a x - 1$ 存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为.

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