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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (0 < ω < 4)$ ，且函数图象过点 $(\frac{π}{6}, 1)$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的最小值为.

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2、欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A、 $e^{2 i}$ 对应的点位于第二象限 B、 $e^{πi}$ 为纯虚数 C、 $\frac{e^{x i}}{\sqrt{3} + i}$ 的模长等于 $\frac{1}{2}$ D、 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3、 $A, B, C$ 表示不同的点， $n, l$ 表示不同的直线， $α, β$ 表示不同的平面，下列说法错误的是（）

A、若 $A, B \in l, A, B \notin α$ ，则 $l / / α$ B、若 $α \cap β = l, n / / α, n / / β$ ，则 $n / / l$ C、若 $A, B \in α, A, B, C \in β, α \cap β = l$ ，则 $C \in l$ D、若 $α / / β, l \subset α, n \subset β$ ，则 $l / / n$

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $B B_{1}, D C$ 的中点，则异面直线 $M N$ 和 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、已知平行四边形ABCD中， $A B = 4, A D = 2, \vec{A B} \cdot \vec{A D} = 4$ ，点P在线段CD上（不包含端点），则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 8)$ B、 $(0, 8)$ C、 $[1, 10)$ D、 $(0, 10)$

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6、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (\begin{matrix} 0, 0 \end{matrix})$ ， $\vec{e_{2}} = (\begin{matrix} 1, - 2 \end{matrix})$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, 7)$ C、 $\vec{e_{1}} = (\begin{matrix} 3, 5 \end{matrix})$ ， $\vec{e_{2}} = (\begin{matrix} 6, 10 \end{matrix})$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

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7、已知集合 $A = \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ，集合 $B_{m} = {x | \frac{x^{2} - m}{n} \in Z, x 、 m \in A}$ ， $| B_{m} |$ 表示集合 $B_{m}$ 元素的个数.

(1)、若 $n = 5$ ，求 $B_{1}$ ， $B_{2};$

(2)、若 $n = 97.$
①求 $|B_{m}|$ 的最大值；
②证明： $|B_{1} |+| B_{2} |+ \dots +| B_{n - 1}| \geq 96.$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2 - x} + b (x^{2} - 2 x) + a ($ 其中a，b是常数 $) .$

(1)、当 $b = 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 在 $x \in (0, 2)$ 上恒成立，求实数 a的取值范围；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 的图象是一个轴对称图形；

(3)、若当 $a \in (0, 1)$ 时， $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上有零点，求实数b的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x - {cos}^{2} x .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值与最小值；

(3)、若 $f (α) = \frac{1}{10}$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{3})$ ，求 $cos α$ 的值.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} ln (x + 1) ， x \geq 0; \\ - x^{2} + a x - 1 ， x < 0. \end{array}$

(1)、当 $a = 4$ 时，若 $f (x) = 2$ ，求x的值；

(2)、若 $f (x)$ 的值域为R ，求实数a的取值范围.

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11、已知 $tan α = 2 .$

(1)、求 $\frac{sin α + cos α}{sin α - cos α}$ 的值；

(2)、求 $\frac{cos (\frac{π}{4} - α) + cos (\frac{π}{4} + α)}{sin (π + α)}$ 的值.

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12、如图，平行于y轴的直线分别与函数 $f (x) = {log}_{2} x$ 及 $g (x) = {log}_{2} x + 2$ 的图象交于点B，C，点 $A (m, n)$ 为函数 $g (x)$ 图象上一点.若 $△ A B C$ 是以AC为斜边的等腰直角三角形，则 $m =$ .

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13、已知扇形的半径为10，圆心角为 $\frac{2 π}{5}$ 弧度，则该扇形的面积为.

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14、计算： $8^{\frac{2}{3}} + {log}_{4} 9 \times {log}_{3} 2 =$ .

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15、已知实数 $x$ 满足 $0 < sin x < cos x$ ，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $0 < tan x < 1$ B、 $1 < sin x + cos x < \sqrt{2}$ C、 $sin x < tan x < cos x$ D、 $sin (cos x) < cos (sin x)$

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16、已知函数 $f (x) = lg(110 + x) - lg (110 - x)$ ，则下列正确的是（）

A、函数 $y = f (2 x)$ 定义域为 $(- 55, 55)$ B、函数 $y = f (x)$ 在 $(- 110, 0)$ 单调递减 C、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移10个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (- 100) = - 1$ D、当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (3^{x} + 4^{x} - 5^{x}) + f (10^{x} - 6^{x} - 8^{x}) \leq 0$

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17、已知集合 $A = \{1 ， 2 ， 4 ， 8\}$ ，集合 $B = \{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 8 ， 16\}$ ，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = |x - 2|$ C、 $y = {log}_{2} x$ D、 $y = 2 x$

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18、设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x + sin x + 2 \sqrt{3} cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{17}{4}$

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19、在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合.已知 $A (x_{0}, y_{0})$ 是 $α$ 终边上异于原点的一点，将 $α$ 的终边 $O A$ 按逆时针旋转 $\frac{3π}{4}$ 到 $O A^{'}$ ，若 $A^{'} (1, 2)$ ，则 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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20、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$

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