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相关试卷

1、已知 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ 分别为随机事件A，B的对立事件， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则（）

A、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = 1$ B、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = P (A)$ C、若A，B独立，则 $P (A| B) = P (A)$ D、若A，B互斥，则 $P (A | B) = P (B | A)$

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2、已知向量 $\vec{a} = (3, 1), \vec{b} = (- 2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$

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3、已知指数函数 $f (x) = 3^{x}$ ．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、若 $f (a) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x - 1) > f (- x)$ ，求 $x$ 的取值范围．

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = x$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于点A，B（A在x轴上方），且 $A B = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a$ ．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．
①求证：直线OQ的斜率为定值；
②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证： $A F \cdot C E$ 为定值．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B D ⊥ P C ， ∠ A {B C = 60}^{\circ}$ ，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P B = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} P A ， E$ 是棱 $P D$ 上的动点，且 $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $P A B$ 与平面 $A C E$ 所成锐二面角的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{19}}{19}$ ?若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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6、会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 $\frac{5}{6}$ ，女会员对服务质量满意的概率为 $\frac{5}{8}$ ．

(1)、随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；

(2)、从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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7、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}$ ， $d$ 为常数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“调和数列”.已知数列 $\{b_{n}\}$ 为“调和数列”，下列说法正确的是（）

A、若 $\sum_{i = 1}^{20} \frac{1}{b_{i}} = 20$ ，则 $b_{10} + b_{11} = b_{10} b_{11}$ B、若 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{c_{n}}$ ，且 $c_{1} = 3$ ， $c_{2} = 15$ ，则 $b_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、若 $\{b_{n}\}$ 中各项均为正数，则 $b_{n + 1} \leq \frac{b_{n} + b_{n + 2}}{2}$ D、若 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{i = 2}^{n + 1} [b_{i} \cdot \ln (i - 1)] \leq \frac{n^{2} - n}{4}$

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8、记 $max \{a, b\}$ 表示 $a$ ， $b$ 二者中较大的一个，函数 $f (x) = - x^{2} - 7 x - 5$ ， $g (x) = max \{3^{1 - x}, {log}_{3} (x + 2)\}$ ，若 $\forall x_{1} \in [a - 1, a + 1]$ ， $\exists x_{2} \in [0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5, - 2]$ B、 $[- 4, - 3]$ C、 $[- \frac{9}{2}, - \frac{5}{2}]$ D、 $[- \frac{11}{2}, - \frac{7}{2}]$

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9、已知函数 $f (x) = a x^{2} + |x + a + 1|$ 为偶函数，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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10、已知球的半径为1，其内接圆锥的高为 $\frac{3}{2}$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $3 π$

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11、已知 $\cos (\frac{5 π}{6} - α) = \sin α$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、已知 $i$ 为虚数单位，若复数z满足 $(1 - i) \bar{z} = 2$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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13、若集合 $M = \{x| \sqrt{x} < 2\}$ ， $N = \{x| 3 x \geq 1\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{x| x \geq 0\}$ B、 $\{x| \frac{1}{3} \leq x < 2\}$ C、 $\{x| 3 \leq x < 4\}$ D、 $\{x| \frac{1}{3} \leq x < 4\}$

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14、已知函数 $f (x) = a x^{2} - |x| + 2 a - 1 (a > 0)$ .

(1)、若 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式.

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15、某汽车公司的研发部研制出一款新型的能源汽车并通过各项测试准备投入量产.生产该新能源汽车需年固定成本为50万元，每生产1辆汽车需投入16万元，该公司一年内共生产汽车 $x$ 辆，并全部销售完.每辆汽车的销售收入为 $R (x)$ （万元） $= \{\begin{array}{l} 400 - 6 x, 0 < x \leq 40 \\ \frac{7400}{x} - \frac{40000}{x^{2}}, x > 40 \end{array}$ .

(1)、求利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （辆）的函数解析式.

(2)、当年产量为多少辆时，该汽车公司所获得的利润最大？并求出最大利润.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} + a}$ ，且满足 $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的单调性，并用定义证明.

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17、（1）计算 ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - {0.75}^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ ；
（2）解不等式 $2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$ ；
（3）已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 3}{a + a^{- 1} - 2}$ 的值.

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{4}{x}, 0 < x < 4 \\ - x^{2} + 10 x - 20, x \geq 4 \end{array}$ ，若存在 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是.

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19、若 $2 < a < 3$ ， $1 < b < 2$ ，则 $a + b$ 的取值范围.

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20、对于定义域为R的函数 $f (x)$ ，若存在非零实数 $x_{0}$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, x_{0})$ 和 $(x_{0}, + \infty)$ 上与 $x$ 轴都有交点，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个“界点”，则下列函数中，存在界点的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ B、 $f (x) = |x - 2| + 1$ C、 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ D、 $f (x) = 2 x^{2} + x |2 - x|$

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