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相关试卷

1、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (m + 1)$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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2、为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（）

A、0.036 B、 $\sqrt[5]{0.82}$ C、 $1 - \sqrt[5]{0.82}$ D、 $1 + \sqrt[5]{0.82}$

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3、若 $a = 2^{0.6}$ ， $b = 4^{0.4}$ ， $c = {0.8}^{3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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4、命题“ $\forall x ＞ 0$ ，使得 $x^{2} + x + 2 ＞ 0$ ”的否定是（　　）

A、 $\forall x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 ＜ 0$ B、 $\forall x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 ＜ 0$ D、 $\exists x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 \leq 0$

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5、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 2024 - x$ B、 $y = e^{x} + 2024$ C、 $y = x^{2} + 2024$ D、 $y = - | x | + 2024$

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6、若集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 10}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3, 4}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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7、定义：若函数 $f (x)$ 图象上恰好存在相异的两点 $P$ ， $Q$ 满足曲线 $y = f (x)$ 在 $P$ 和 $Q$ 处的切线重合，则称 $P$ ， $Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切点”，直线 $P Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切线”．

(1)、直线 $y = 2 x$ 是否为曲线 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{x}$ 的“双重切线”，请说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - \frac{2}{e}, x \leq 0, \\ \ln x, x > 0, \end{array}$ 求曲线 $y = g (x)$ 的“双重切线”的方程；

(3)、已知函数 $h (x) = \sin x$ ，直线 $P Q$ 为曲线 $y = h (x)$ 的“双重切线”，记直线 $P Q$ 的斜率所有可能的取值为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{n}$ ，若 $k_{1} > k_{2} > k_{i}$ （ $i = 3, 4, 5, \cdot \cdot \cdot, n$ ），证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{15}{8}$ ．

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8、已知椭圆 $Γ : \frac{y^{2}}{12} + \frac{x^{2}}{6} = 1$ ， $F$ 是 $Γ$ 的下焦点，过点 $R (0, 6)$ 的直线 $l$ 交 $Γ$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，
（1）求 $F$ 的坐标和椭圆 $Γ$ 的焦距；
（2）求 $△ M N F$ 面积的最大值，并求此时直线 $l$ 的方程；
（3）在 $y$ 轴上是否存在定点 $S$ ，使得 $∠ R S M + ∠ R S N = π$ 恒成立?若存在，求出定点 $S$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{x} - a x$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论 $f (x)$ 极值点的个数.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}$ ，数列 $\{\log_{3} b_{n}\}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列， $b_{1} = 1$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_{n} = a_{2 n + 1} + b_{2 n + 1}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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11、A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是.

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12、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3} \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $90 °$ ，则实数 $λ$ 的值是.

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13、已知直线 $y = - x + 2$ 分别与函数 $y = \frac{1}{2} e^{x}$ 和 $y = \ln (2 x)$ 的图象交于点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，则（）

A、 $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} > 2 e$ B、 $x_{1} + x_{2} > \frac{\sqrt{e}}{4}$ C、 $\frac{\ln x_{1}}{x_{1}} + x_{2} \ln x_{2} > 0$ D、 $e^{x_{1}} + ln (2 x_{2}) > 2$

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14、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 有且仅有5个零点，下述结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有2个极小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{10})$ 单调递减 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{12}{5}, \frac{29}{10})$

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15、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c = b (2 \cos A + 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = 2 B$ B、若 $a = \sqrt{2} b$ ，则 $△ A B C$ 为等腰直角三角形 C、若 $a = \sqrt{3} b$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} b^{2}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $\frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A}$ 的最小值为1

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16、函数 $f (x) = - \log_{a} (x - b)$ 及 $g (x) = b x + a$ ，则 $y = f (x)$ 及 $y = g (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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17、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, |F_{1} F_{2}| = 4$ ，且 $C$ 的一条渐近线与直线 $l : \sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 平行，则双曲线 $C$ 的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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18、《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦 $A B = 1$ 尺，弓形高 $C D = 1$ 寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（）（注：一丈=10尺=100寸， $π \approx 3.14, \sin 22.5 ° \approx \frac{5}{13}$ ）

A、300立方寸 B、305.6立方寸 C、310立方寸 D、316.6立方寸

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19、 $(x + \frac{2}{x}) {(x - 1)}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、 $12$ B、 $- 12$ C、 $- 10$ D、 $10$

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20、若复数 $z$ 满足 $\frac{i + z}{z} = i + 2$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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