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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 2$ ， $B_{1} B = 3$ ， D是棱 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、该正三棱柱被平面 $B D C_{1}$ 截去一个棱锥 $C_{1} - B D C$ ，求剩余部分的体积.

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2、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \sin x)$ ， $\vec{b} = (3 \sin x, \cos x)$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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3、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 2 ∠ B$ ， $A B = 2$ ， $△ A B C$ 的面积是 $\sqrt{15}$ ，则 $A B$ 边上的中线长是.

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4、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, A_{1} B_{1} = 1, A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则该棱台的体积为.

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5、已知复数 $z = (2 - i) (a + i)$ 是纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数 $a$ 的值为.

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6、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2, P A = \sqrt{6}$ ，过 $A B$ 的平面 $α$ （不与底面重合）与侧棱 $P C$ ， $P D$ 分别交于点E，F，且平面 $α$ 将四棱锥 $P - A B C D$ 分成上下两个部分的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，则以下命题正确的是（）

A、 $A F / / B E$ B、 $C D / / E F$ C、若E是 $P C$ 的中点，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5}$ D、若平面 $α$ 经过正四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的球心，则 $\frac{P E}{E C} = \frac{3}{2}$

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7、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 都是单位向量，且 $\vec{a} - \vec{b} = t \vec{c} (t \in R)$ ，则以下命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $t = 0$ B、若 $t = 2$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $t = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ D、若 $t = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{c}$

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8、已知复数z， $z_{1}$ ，其中i为虚数单位，则以下命题正确的是（）

A、若 $z_{1} = 2 z$ ，则 $\bar{z_{1}} = 2 \bar{z}$ B、若 $z_{1} = z + 1 + i$ ，则 $\bar{z_{1}} = z + 1 + i$ C、若 $z_{1} = z + i z$ ，则 $|z_{1}| = \sqrt{2} |z|$ D、若 $z_{1} = \frac{z}{1 - i}$ ，则 $|z_{1}| = \frac{1}{2} |z|$

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9、如图所示，等边 $△ A B C$ 内有3个全等的小三角形，且 $E F = 2$ ， $\tan ∠ A B E = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、7 B、 $7 \sqrt{3}$ C、14 D、 $14 \sqrt{3}$

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10、在等腰 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ，点P在底边 $B C$ （包括端点）上运动，设 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为m，最大值为M，则（）

A、m不是定值，M是定值 B、m是定值，M不是定值 C、m是定值，M是定值 D、m不是定值，M不是定值

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11、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α \cap β = n$ ， $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $m / / β$ D、若 $m, n$ 为异面直线，且 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α \cap β = l$ ，则l与m，n中至少一条相交

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12、在 $△ A B C$ 中，已知 $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边， $a^{2} - c^{2} = a b - b^{2}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 3)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 ${|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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14、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2 - i} = 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 4$ B、 $- 4 i$ C、4 D、 $4 i$

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15、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过 $C$ 上点 $A (4, 2)$ 的切线交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $G$ 的直线与 $C$ 交于 $B, D$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、比较 ${|G A|}^{2}$ 与 $|G B| \cdot |G D|$ 的大小，并说明理由；

(3)、过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $T (0, 2 \sqrt{2})$ ， $P T$ ， $Q T$ 的延长线分别交 $C$ 于 $M, N$ 两点，求点 $A$ 到直线 $M N$ 距离的最大值.

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16、某学校有 $A$ 、 $B$ 两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去 $A$ 餐厅的条件下，后一天继续选择 $A$ 餐厅的概率为 $\frac{1}{3}$ ；而在前一天选择去 $B$ 餐厅的条件下，后一天继续选择去 $B$ 餐厅的概率为 $\frac{3}{5}$ ，如此往复.

(1)、求该同学第一天和第二天都选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率；

(2)、求该同学第二天选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率；

(3)、记该同学第 $n$ 天选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率为 $P_{n}$ ，求 $\{P_{n}\}$ 的通项公式.

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17、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，顶点 $P$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $H$ 落在线段 $A C$ 上（不含端点）， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 A D = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - P$ 的大小为 $α$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $β$ ，求 $\frac{tan α}{tan β}$ 的值.

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + a^{2} (a, b \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $10$ ，求 $b$ 的值；

(2)、对任意 $a \in [- 1, + \infty)$ ， $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上单调递增，求 $b$ 的最大值.

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ .已知 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求函数 $f (x) = sin (2 x - A) - sin (2 x + B + C)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间.

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20、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $A P = 1$ .若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $2 λ + 3 μ$ 的最大值为.

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