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相关试卷

1、函数 $f (x) = \sqrt{|x - 1| - 3}$ 的定义域是（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $[- 2, 4]$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [4, + \infty)$

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2、已知复数 $(2 x + y) - (x - y) i$ 的实部和虚部分别为5和 $- 1$ ，则实数 $x$ 和 $y$ 的值分别是（）

A、2， $- 1$ B、2，1 C、 $- 1$ ， 2 D、1， $- 2$

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3、阅读下列材料，回答问题：
如图，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过原点 $O$ 与 $z$ 轴成 $θ$ 角 $(0 < θ < \frac{π}{2})$ 的直线绕 $z$ 轴一周，生成以 $O$ 为顶点 $z$ 轴为对称轴的两个圆锥形的几何体 $Ω$ ，不经过原点 $O$ 与 $z$ 轴成 $φ$ 角 $(0 \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的平面 $α$ 截几何体 $Ω$ 的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线.

当 $θ < φ < \frac{π}{2}$ 时，平面 $α$ 截几何体 $Ω$ 的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆 $K_{1}$ 和圆 $K_{2}$ ）且与平面 $α$ 相切（位于平面 $α$ 上下两侧），切点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{1}$ ，在截口曲线上任取一点P，作直线 $O P$ 交圆 $K_{1} ､ K_{2}$ 于点 $Q_{1} ､ Q_{2}$ ，连接 $P F_{1}$ 和 $P Q_{1}$ ，因为 $P F_{1}$ 和 $P Q_{1}$ 都是大球的切线段，所以 $P F_{1} = P Q_{1}$ ，同理 $P F_{2} = P Q_{2}$ ，所以 $P F_{1} + P F_{2} = P Q_{1} + P Q_{2} = Q_{1} Q_{2}$ ，因为两球外离， $F_{1} F_{2}$ 和 $Q_{1} Q_{2}$ 分别是两球的内外公切线段，都为定值且 $F_{1} F_{2} < Q_{1} Q_{2}$ ，所以此时平面 $α$ 截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答：


(1)、当 $φ = θ$ 时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明）

(2)、当 $0 < φ < θ$ ，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明；


(3)、如图，将等边 $△ A B C$ 绕边 $B C$ 旋转至 $△ A^{'} B C$ ，并且使二面角 $A - B C - A^{'}$ 为直二面角，动点 $P$ 在平面 $A^{'} B C$ 上并且 $∠ P A A^{'} = \frac{π}{3}$ ，判断动点 $P$ 的轨迹，并求其离心率.


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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过点 $B (0, 2)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $M, N$ 两点，若直线 $A M, A N$ 的斜率都存在且分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，

(1)、求椭圆 $C$ 的方程

(2)、求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 的值

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5、如图， $A B C D$ 为圆柱的轴截面， $P$ 为底面半圆周上一点， $E$ 为 $P C$ 中点， $B E ⊥ A C$

(1)、若 $B C = 1$ ，求 $P B$ 的长

(2)、若 $P A = 2 P B$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $A B E$ 所成夹角的余弦值

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6、已知圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ．

(1)、若直线l过点 $(- 2, 0)$ 且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)、从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且 $| P M | = | P O |$ ，求 $| P M |$ 的最小值．

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7、如图，已知 $a, b$ 是相互垂直的两条异面直线，直线 $A B$ 与 $a, b$ 相交且垂直，垂足为 $A, B$ ，且线段 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P, Q$ 分别位于直线 $a, b$ 上，若直线 $P Q$ 与 $A B$ 所成的角 $θ = \frac{π}{6}$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则以下结论：
① $P Q$ 的长度为定值4.
②三棱锥 $A - B P Q$ 的体积为定值.
③点 $M$ 的轨迹是圆；
其中正确的有（填写编号）

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8、在平面直角坐标系中，已知某直线沿 $x$ 轴正方向平移3个单位，再沿 $y$ 轴负方向平移2个单位直线回到原来位置，则此直线的斜率 $k =$ .

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9、已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，对角线 $A C, B D$ 过原点 $O$ ，且 $k_{A C} \cdot k_{B D} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，则（）

A、 $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 是定值 B、 $|A C| \cdot |B D|$ 是定值 C、四边形 $A B C D$ 的面积是定值 D、四边形 $A B C D$ 的周长是定值

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10、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 1, - 1, 0), B (0, 2, - 1), C (2, 0, 1)$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则（）

A、 $G$ 点的坐标是 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ B、 $\vec{n} = (- a, a, 2 a)$ 是平面 $A B C$ 的法向量 C、平面 $A B C$ 过原点 $O (0, 0, 0)$ D、 $△ A B C$ 为锐角三角形

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11、已知抛物线 $y = x^{2}$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，弦 $P Q$ 过 $F$ 点，则下列说法正确的是（）

A、焦点 $F$ 的坐标为 $(0, \frac{1}{2})$ B、准线 $l$ 的方程为 $x = - \frac{1}{4}$ C、若 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则 $|F P| = y_{0} + \frac{1}{4}$ D、弦 $P Q$ 的长度 $|P Q| \geq 1$

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12、已知动直线 $l : (m + 1) x + (m - 1) y + 2 m = 0$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ ，则直线 $l$ 与圆 $O$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、与 $m$ 值有关，无法确定

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13、已知直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是 $- 2$ ，在 $y$ 轴上的截距是3，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $3 x - 2 y - 6 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 6 = 0$ C、 $3 x - 2 y + 6 = 0$ D、 $3 x + 2 y + 6 = 0$

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14、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} - x + 2 (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 0$ ；求证： $f (x) < \frac{4 e^{x - 2}}{x^{2}}$ ；

(3)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，求证： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < (a - \frac{1}{2}) (x_{1} - x_{2})$ .

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15、已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots \dots, 2 n, 2 n + 1\} (n \in N^{*})$ .

(1)、集合 $B \subseteq A$ ，且 $B$ 中的任意三个不同的元素 $x$ ， $y$ ， $z$ 都有 $x + y \neq z$ .
（i）当 $n = 3$ 时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合 $B$ ；
（ii）对于任意给定的 $n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ ，求集合 $B$ 中的元素个数的最大值.

(2)、已知集合P={C|C $⊑$ A}， $Q = \{C_{1}, C_{2}, \dots \dots, C_{k}\} \subseteq P$ ，且同时满足以下条件：① $\forall C_{i}$ ， $C_{j} \in Q$ ，都有 $C_{i} \cap C_{j} \neq \emptyset$ （其中 $i$ ， $j \in \{1, 2, \dots, k\}$ ， $i \neq j$ ）；② $\forall D \in ∁_{P} Q$ ， $\exists C_{s} \in Q$ ，使得 $D \cap C_{s} = \emptyset$ （其中 $s \in \{1, 2, \dots, k\}$ ）.求集合 $Q$ 中的元素个数 $k$ .

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

(1)、求证： $B C_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若二面角 $A - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且 $A B = 2 B C = 2$ ，求 $A C_{1}$ .

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17、如图所示的五面体 $A B C D E F$ 为《九章算术》中记载的羡除，它指的是墓道或隧道.其中 $E F ∥ A D ∥ B C$ ，四边形 $A D E F$ ， $A D C B$ ， $E F B C$ 均为等腰梯形，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A D C B$ ， $E F = 2$ ， $B C = 3$ ， $A D = 4$ ， $B C$ 和 $A D$ 间的距离为2， $E F$ 和 $A D$ 间的距离为4，则该羡除的体积为.

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 和双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦点相同，则 $m =$ .

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19、已知函数 $f (x) = sin 2 x - 2 sin x$ ，则（）

A、 $f (2) + f (4) < 0$ B、当 $0 < x < 6$ 时， $f (x) \leq \frac{5}{2}$ C、当 $3 < x < 4$ 时， $f (x) > f (\frac{x}{3} + 2)$ D、当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) < f (\frac{17}{4} - x)$

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20、已知 $A (- a, 0)$ ， $B (a, 0)$ ， $l_{1} : a x - y = 0$ ， $l_{2} : a x + y = 0$ ，其中 $a > 1$ ，点 $P$ 为平面内一点，记点 $P$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则下列条件中能使点 $P$ 的轨迹为椭圆的是（）

A、 $|P A| + |P B| = 4 a$ B、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} = 4 a^{2}$ C、 $d_{1} + d_{2} = 4 a$ D、 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$

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