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1、如图，已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}, E, F$ 分别是上底面 $A^{'} C^{'}$ 和侧面 $C D^{'}$ 的中心，判断下列结论正确的是（）

A、存在 $x$ 使得 $\vec{A C^{'}} = x (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}})$ B、任意 $x, y$ ，使得 $\vec{A E} = \vec{A A^{'}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ C、存在 $x, y$ ，使得 $\vec{A F}, \vec{A D}, x \vec{A C^{'}} + y \vec{A C}$ 共面 D、任意 $x, y$ ，使得 $\vec{A F}, \vec{A D}, x \vec{A B^{'}} + y \vec{A C^{'}}$ 共面

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2、已知直线 $l : (a + 1) x + (1 - a) y - 2 = 0$ 与动圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 b x + 4 b y + 5 b^{2} - 9 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(1, 2)$ B、当 $a = 1$ 时，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $b = 4$ C、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交截得弦长为定值 $d$ ，则 $d = \frac{4 \sqrt{55}}{5}$ D、当 $b = 0$ 时，直线 $l$ 截圆 $C$ 的最短弦长为 $\sqrt{7}$

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3、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，记 $\bar{A}, \bar{B}$ 为事件 $A, B$ 的对立事件，且 $P (A) = \frac{2}{5}, P (B) = \frac{1}{3}, P (A \bar{B}) = \frac{2}{15}$ ，则 $P (\bar{A} + B) =$ （）

A、 $\frac{11}{15}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{14}{15}$ D、 $\frac{13}{15}$

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4、已知直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1)$ ，且 $\vec{n} = (1, 2, 1)$ 是 $l$ 的方向向量，则点 $P (4, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\sqrt{14}$

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5、“ $k = \sqrt{3}$ ”是“直线 $y = k x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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7、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ D、 $1 - i$

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8、有一组数据，按从小到大排列为： $1, 2, 6, 7, 10, m$ ，这组数据的 $40 %$ 分位数等于他们的平均数，则 $m$ 为（）

A、12 B、11 C、10 D、9

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9、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $- \sqrt{3}$

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10、定义符号函数为 $y = sgn (x) = \{\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ ，已知 $f (x) = - 2 x + 8 - 4 a, g (x) = x^{2} - 2 a x$ ，令 $h (x) = \frac{sgn (x - 1) - sgn (x - 2)}{2} \cdot f (x) + \frac{sgn (x - 2) - sgn (x - 3)}{2} \cdot g (x)$ ， $x \in (1, 3)$ .

(1)、若函数 $g (x)$ 在区间 $(2, 3)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $y = h (x)$ 与 $y = k$ 的图象有且仅有一个交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $\forall x_{1} \in (2, 3)$ ， $\exists x_{2} \in (1, 2)$ ，使得 $h (x_{2}) = h (x_{1})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x + 3}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断 $y = f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义法证明；

(3)、若 $f (1 - m) + f (2 m + 1) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、已知正实数x，y满足 $x + 3 y = 1$ .

(1)、求 $x y$ 的最大值；

(2)、若不等式 $\frac{x}{3 y} + \frac{1}{x} \leq \frac{m - 2}{m + 2}$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 3}$ ， $B = {x ∣ m - 2 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x - 3, x < 1 \\ f (x - 3), x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (4) =$ .

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15、下列说法中正确的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = |x|$ 表示同一个函数 B、 $f (x) = x^{2} + 2 |x| - 3$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{1 - x^{2}}$ 既是奇函数，又是偶函数 D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[2, 3]$

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16、已知 $a, b, c, d \in R$ ，且 $a > b, c > d > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a c > b d$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $a + 2 c > b + 2 d$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + 1, x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上既有最大值，又有最小值，则 $b - a$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对 $\forall x \in R$ ， $f (x) + x f (- x) = x^{2}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{9}{5}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、2

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19、已知实数 $a > 0$ ，且“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的一个必要不充分条件是“ $|x| < a$ ”，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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20、已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递增且存在最大值为 $M$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, - 1]$ 上（）

A、单调递增且最大值为 $M$ B、单调递增且最小值为 $- M$ C、单调递减且最大值为 $M$ D、单调递减且最小值为 $- M$

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