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相关试卷

1、已知复数z满足 $z (1 + i) = i$ ，则复数z对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知集合 $A = \{x| x^{2} < 4\}$ ，集合 $B = \{x| 2^{x} > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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3、已知动点 $P (x, y)$ (其中 $x \geq 0$ )到定点 $F (1, 0)$ 的距离比点 $P$ 到 $y$ 轴的距离大1.
（1）求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（2）过椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的右顶点作直线交曲线 $C$ 于 $A$ ､ $B$ 两点，其中 $O$ 为坐标原点
①求证： $O A ⊥ O B$ ；
②设 $O A$ ､ $O B$ 分别与椭圆相交于点 $D$ ､ $E$ ，证明：原点到直线 $D E$ 的距离为定值.

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4、已知线段AB的端点B的坐标是 $(6, 5)$ ，端点A在圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上运动．

(1)、求线段AB的中点P的轨迹 $C_{2}$ 的方程；

(2)、若点C在曲线 $C_{2}$ 上运动，点Q在x轴上运动，求 $|Q A| + |Q C|$ 的最小值．

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 及直线 $l : y = \frac{3}{2} x + m$ .
(1)当直线 $l$ 与该椭圆有公共点时，求实数 $m$ 的取值范围；
(2)求直线 $l$ 被此椭圆截得的弦长的最大值．

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6、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 y - 4 = 0$ ，直线 $l : m x - y + 1 - m = 0$ .

(1)、判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，且 $|A B| = 3 \sqrt{2}$ ，求直线的方程.

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7、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，顶点 $Q (0, 2 \sqrt{3})$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 右支上的动点，则 $|P F_{1}| + |P Q|$ 的最小值等于.

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8、若圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 上存在两点关于直线 $2 a x - b y + 3 = 0 (a > 0, b > 0)$ 对称，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是.

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9、抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为．

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10、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左右焦点，点 $P$ 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1 C、 $F_{1}$ 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D、以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$

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11、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，若椭圆上存在点P，使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ ，则椭圆的离心率e的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{5}}{2}, 1)$

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12、椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 中，以点 $M (1, \frac{1}{2})$ 为中点的弦所在直线的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- 4$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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13、离心率为2的双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $x \pm y = 0$ B、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ C、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ D、 $\sqrt{5} x \pm y = 0$

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14、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 9 = 0$ ，过x轴上的点P(1，0)向圆C引切线，则切线长为

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{2}$

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15、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任何一个平面都能用方程 $A x + B y + C z + D = 0$ 表示.（其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D \in R$ 且 $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ），且空间向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ 为该平面的一个法向量.有四个平面 $α_{1} : x + z - 2 = 0$ ， $α_{2} : y + z - 2 = 0$ ， $α_{3} : x + y + z - 2 = 0$ ， $α_{4} : x + y + m z - 2 = 0 (m \neq 1, m \neq 2, m \in R)$

(1)、若平面 $α_{3}$ 与平面 $α_{4}$ 互相垂直，求实数 $m$ 的值；

(2)、请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 到平面 $A x + B y + C z + D = 0$ 的距离为 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ ；

(3)、若四个平面 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ ， $α_{4}$ 围成的四面体的外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ ，求该四面体的体积.

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16、如图， $A B // C D$ ， $A D ⊥ A B$ ，且 $A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $B C F E$ ，四边形 $B C F E$ 为正方形.

(1)、求证： $B F ⊥ A E$ .

(2)、若点 $P$ 在线段 $D F$ 上，且点 $P$ 到平面 $A C F$ 距离为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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17、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + m = 0 (m \in R)$ 及点 $A (- 1, 0)$ 和 $B (1, 0)$

(1)、若斜率为1的直线 $l$ 过点 $B$ ，且与圆 $C$ 相交，截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ，求圆 $C$ 的半径 $r$ ；

(2)、已知点 $P$ 在圆 $C$ 上，且 $∠ A P B = 90^{\circ}$ ，若点 $P$ 存在两个位置，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知 $△ A B C$ 的顶点 $C$ 在直线 $l : x - y + 2 = 0$ 上运动，点 $A$ 为 $(0, - 2)$ ，点 $B$ 为 $(2,0)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、 $△ A B C$ 的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由.

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是 $60^{\circ}$ ，则线段 $A_{1} C$ 的长度为.

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20、直线 $l : m x + (m + 1) y + 2 = 0 (m \in R)$ 经过的定点坐标为.

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