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相关试卷

1、如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2} \dots, A_{n}, \dots$ 和 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}, \dots$ 分别在角O的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$ 相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n + 1} A_{n + 1}$ 的面积均相等.设 $O A_{n} = a_{n}$ .若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是.

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2、函数 $f (x) = x^{3} - a x$ 在 $[1, + \infty)$ 上是单调递增函数，则 $a$ 的取值范围是.

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}^{2}}{a_{n}^{2}} = p$ （ $p$ 为常数， $n \in N$ ， $n \geq 1$ ），则称 $\{a_{n}\}$ 为“等方比数列”．甲：数列 $\{a_{n}\}$ 是等方比数列；乙：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则（）．

A、甲是乙的充分非必要条件 B、甲是乙的必要非充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲是乙的既非充分也非必要条件

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4、设 $a \neq 0$ ，若 $a$ 为函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b)$ 的极大值点，则（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a b < a^{2}$ D、 $a b > a^{2}$

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5、若 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) > 0 ， △ A B C$ 为锐角三角形，则下列选项正确的是（）.

A、 $f (sin A) sin B > f (sin B) sin A$ B、 $f (sin A) sin B < f (sin B) sin A$ C、 $f (cos A) sin B > f (sin B) cos A$ D、 $f (cos A) sin B < f (sin B) cos A$

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6、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中 $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和， $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 9$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、27 B、36 C、54 D、81

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8、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n}$ 是 $S_{n}$ 和8的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{12} \leq T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - a x + 2$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若在 $x = 1$ 时取得极值，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的最小值.

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10、过点 $(1, 0)$ 可以做三条直线与曲线 $f (x) = x e^{x} - t$ 相切，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{5}{e^{2}}, 0)$ B、 $(- \frac{5}{e^{2}}, e)$ C、 $(- \frac{5}{e}, e)$ D、 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为 $P A$ 的中点.
（1）求证： $P C / /$ 平面 $E B D$ ；
（2）求三棱锥 $C - P A D$ 的体积 $V_{C - P A D}$ ；
（3）在侧棱 $P C$ 上是否存在一点M，满足 $P C ⊥$ 平面 $M B D$ ，若存在，求 $P M$ 的长；若不存在，说明理由.

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12、如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．

(1)、求该几何体的体积；

(2)、求该几何体的表面积．

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13、已知点 $O (0, 0), A (1, 1), B (- 1, 0)$ .

(1)、若 $\vec{O C} = \vec{O A} + λ \vec{O B}$ ，其中 $λ$ 是实数，且 $\vec{O C} ⊥ \vec{A B}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、求 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角.

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14、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $O A = 2, ∠ B A C = 45^{\circ}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为.

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15、请写出一个模为5，虚部为 $- 4$ 的复数 $z =$ .

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16、如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别是 $C_{1} D_{1}, C_{1} C, A_{1} A$ 的中点，则（）

A、 $M, N, B, A_{1}$ 四点共面 B、若 $a = 2$ ，则异面直线 $P D_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、平面 $P M N$ 截正方体所得截面为等腰梯形 D、若 $a = 1$ ，则三棱锥 $P - M D_{1} B$ 的外接球的体积为 $\frac{5 \sqrt{10} π}{24}$

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17、下列命题正确的是（）

A、若 $z = (a^{2} - 1) + (a^{2} - 2 a - 3) i$ 为纯虚数， $a \in R$ ，则 $a = \pm 1$ B、若 $(m + n) + (m - 2 n) i = - 1 + 5 i, m, n \in R$ ，则 $m = 1, n = - 2$ C、若复数 $z$ 满足 $|z + (1 - i)| = 2$ ，则 $z$ 在复平面内对应点的轨迹为以 $(1, - 1)$ 为圆心，2为半径的圆 D、若 $- 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根，则 $p = 8$

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18、设点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法不正确的是（）

A、若 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}| = |\vec{M B} - \vec{M C}|$ ，则 $△ A B C$ 的形状为等边三角形 B、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{B C} = \vec{a}, \vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、已知点 $O$ 是平面上的一个定点，并且A，B， $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in (0, + \infty))$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的内心 D、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, 1), \vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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19、我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（）（注：1丈=10尺）

A、 $2800$ 立方尺 B、 $3640$ 立方尺 C、3892立方尺 D、11676立方尺

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、 $- 5$ D、 $- 10$

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