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相关试卷

1、在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（）

A、曲线 $x^{2} + y^{2} = |x| + |y|$ 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B、曲线 $x^{2} + y^{2} = |x| - |y|$ 夹在直线 $y = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ 和直线 $y = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ 之间 C、曲线 $x^{2} + y^{2} = 3 |x| + 3 |y|$ 所围成区域面积是 $x^{2} + y^{2} = |x| + |y|$ 所围成区域面积的9倍 D、曲线 $x^{2} + y^{2} = 4 |x| + |y|$ 上任意两点距离都不超过 $2 \sqrt{15}$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2， $P$ 为椭圆上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ ，使得 $P F_{1}$ 的长度为4 C、椭圆上存在4个不同的点 $P$ ，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$

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3、下列选项正确的是（）

A、空间向量 $\vec{a} = (1, - 1, - 2)$ 与 $\vec{b} = (- 2, 2, 4)$ 垂直 B、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、已知向量 $\vec{a} = (2, x, 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (0, 1, 1)$ ，若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 可作为一组基底，则 $x$ 可取1 D、若 $\vec{a} = (2, - 1, 1)$ 和 $\vec{b} = (1, 1, 2)$ 分别是直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的方向向量，则两直线所成夹角为 $\frac{π}{6}$

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4、一条东西走向的高速公路沿线有三座城市 $A, B, C$ ，其中 $A$ 在 $C$ 正西 $60 km$ 处， $B$ 在 $C$ 正东 $100 km$ 处，台风中心在 $C$ 城市西偏南 $30^{\circ}$ 方向 $200 km$ 处，且以每小时 $40 km$ 的速度沿东偏北 $30^{\circ}$ 方向直线移动，距台风中心 $10 \sqrt{34} km$ 内的地区必须保持一级警戒，则从 $A$ 地解除一级警戒到 $B$ 地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, 2)$ C、 $(2,3)$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，其中 $B$ 为上顶点，且 $3 \vec{A F_{1}} = 2 \vec{F_{1} B}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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6、已知平面上两定点 $A, B$ ，则满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = k$ （常数 $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的动点 $P$ 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在 $△ P A B$ 中， $|A B| = 4$ ， $|P A| = 2 |P B|$ ，则 $△ P A B$ 面积的最大值是（）

A、4 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的下焦点是 $F_{1}$ ，上焦点是 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，如果线段 $P F_{1}$ 的中点在 $x$ 轴上，那么 $|P F_{2}| : |P F_{1}| =$ （）

A、 $2 : 7$ B、 $1 : 7$ C、 $1 : 2$ D、 $3 : 4$

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8、若直线 $a x + (a - 3) y + 3 = 0$ 与直线 $x + a y - 3 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值是（）

A、2 B、0 C、0或2 D、2或 $- 2$

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9、若点 $P (1, m)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0$ 内，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 2, 0)$

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10、向量 $\vec{a} = (x, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - y, 8)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ ， $y = \frac{1}{4}$ B、 $x = \frac{1}{4}$ ， $y = - 4$ C、 $x = \frac{1}{4}$ ， $y = 4$ D、 $x = - \frac{1}{4}$ ， $y = - 4$

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11、直线l： $\sqrt{3}$ x+y﹣3＝0的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设 $P (x_{0}, y_{0})$ 是第一象限内椭圆 $C$ 上的一点， $P F_{1} ､ P F_{2}$ 的延长线分别交椭圆 $C$ 于点 $A, B$ ，连接 $O P, A B, A F_{2}$ ，若 $△ A P F_{2}$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，求 $△ P A F_{2}$ 的面积；

(3)、若分别记 $O P, A B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $\frac{1}{k_{2}} - \frac{1}{k_{1}}$ 的最大值.

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13、如图所示，已知四棱锥 $P - A B C D, △ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，底面 $A B C D$ 是等腰梯形，且 $B C$ $∥$ $A D, A D = 2 D C = 2 C B, ∠ A D C = 60^{\circ}, P C = \sqrt{2} B C, E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E$ $∥$ 平面 $A P B$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $B - P C - D$ 的平面角的余弦值.

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 与 $y$ 轴相切，且过点 $M (1, \sqrt{3}), N (1, - \sqrt{3})$

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A (- 2, 0)$ 作直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $M, N$ 两点，若 $\frac{1}{| A M |^{2}} + \frac{1}{| A N |^{2}} = \frac{17}{90}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B - c sin C = (b - a) sin A$

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 是线段 $A B$ 上一点，且 $A D = 2 B D, C D = 2$ ，求 $S_{△ A B C}$ 的最大值.

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16、杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：

(1)、若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：

(2)、已知落在 $[60, 70)$ 成绩的平均值为66，方差是7；落在 $[70, 80)$ 成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ；

(3)、若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙复赛获优秀等级的概率为 $\frac{4}{5}$ ，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.

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17、已知正三棱锥 $A - B C D$ 的外接球为球 $O, A B = 6, B C = 3 \sqrt{3}, P$ 是球 $O$ 上任意一点， $E$ 为 $B D$ 的中点，则 $P E$ 的取值范围为.

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 8)$ 的左､右焦点到直线 $l : x - y - 4 = 0$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ，则 $E$ 离心率取值范围是.

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19、已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是.

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20、已知曲线 $C$ 的方程 $x^{2} + y^{2} + a |x| y = 1$ ，则以下结论正确的是（）

A、无论实数 $a$ 取何值，曲线 $C$ 都关于 $y$ 轴成轴对称 B、无论实数 $a$ 取何值，曲线 $C$ 都是封闭图形 C、当 $a = - 1$ 时，曲线 $C$ 恰好经过 $6$ 个整点（即横､纵坐标均为整数的点） D、当 $a = - 1$ 时，曲线 $C$ 所围成的区域的面积小于 $3$

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