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相关试卷

1、如图所示，某游戏闯关者需从区域Ⅰ内的定点P快速移动至区域Ⅱ内的定点Q.两区域以直线l为分界线，已知P，Q两点到直线l的距离分别为1，2，且向量 $\vec{P Q}$ 在直线l的方向向量上的投影向量的模长为3，考虑到两区域通行环境差异，设定闯关者在区域Ⅰ的移动速率为a，在区域Ⅱ中的移动速率为b，线段 $P Q$ 与直线l相交于点A，若图示折线路径 $P B Q$ 是耗时最短的闯关路线.则下列说法正确的有（）

A、存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{B A} = λ \vec{B P} + (1 - λ) \vec{B Q}$ B、若 $\tan ∠ B Q P = \frac{1}{7}$ ，则 $A B = \frac{1}{2}$ C、 $a < b$ D、 $b \cos ∠ P B A + a \cos ∠ Q B A = 0$

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2、已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足： $f^{'} (x) > 2$ ，若单调递增数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\{\begin{cases} a_{1} = 1, \\ a_{n + 1} = f (a_{n}), n \in N^{*}, \end{cases}$ 则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n$ B、函数 $y = f (x) - 2 x$ 是增函数 C、 $\{a_{n}\}$ 可能是等比数列 D、若 $a_{2} = 2$ ，则 $a_{100} > 10^{9}$

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3、已知 $α$ 为锐角，若 $\tan 2 α = \frac{3 \sin α}{\cos α + \sin α}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $α$ 的终边经过点 $(3, 1)$ B、 $sin (π + α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\sqrt{1 + \cos 2 α} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $α + β = \frac{π}{4}$ ，则 $\tan β = \frac{1}{2}$

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4、若数轴上有一个质点位于 $x = 0$ 处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达 $x = 6$ 处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{13}{27}$ C、 $\frac{28}{45}$ D、 $\frac{7}{15}$

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5、已知A，B，C是函数 $f (x) = |2 - \log_{3} x|$ 图象上的三点，A在x轴上，且 $B C / / x$ 轴，若 $B C = 24$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、0 B、－1 C、－107 D、82

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6、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P，Q分别为棱 $A A_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 上的动点（可与端点重合），若 $P Q / /$ 面 $A B_{1} C$ ，则线段 $P Q$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7、如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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8、设 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、20 B、－20 C、160 D、－160

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9、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ ，则 $a_{3} + 2 a_{6} =$ （）

A、17 B、21 C、23 D、27

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10、若复数z满足 $z (1 + i) = 1 - 3 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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11、已知集合 $A = \{x| 2^{x} < 4\}$ ， $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - x + \ln x$ .
（1）若函数 $f (x)$ 在定义域内是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）当 $a \in [1, e)$ 时，讨论方程 $f (x) = a x - \frac{a}{2}$ 根的个数.

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13、设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，满足 $a_{2} + a_{6} = 18$ ， $a_{4} a_{8} = 153$ ，且 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{4} = b_{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $x_{n + 1} - x_{n} = b_{n}$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，依次连接点 $P_{1} (x_{1}, 1)$ ， $P_{2} (x_{2}, 2)$ ， $\dots$ ， $P_{n + 1} (x_{n + 1}, n + 1)$ 得到折线 $P_{1} P_{2} \dots P_{n} P_{n + 1}$ ，求由该折线与直线 $y = 0$ ， $x = x_{1}$ ， $x = x_{n + 1}$ 所围成的区域的面积 $T_{n}$ ．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{3} a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{4} (1 - S_{n + 1}) (n \in N^{*})$ ， $T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求使 $T_{n} \geq \frac{506}{1013}$ 成立的最小的正整数 $n$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x + b$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是 $3 x + y - 2 = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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16、若函数 $f (x) = x e^{x} + a x$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为

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17、甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种.（请用数字作答）

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{6} =$ ．

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19、定义：设 $f (x)$ 为三次函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为三次函数 $y = f (x)$ 图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} + b (a \neq 0)$ 的极大值点和极小值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且有 $x_{1} + x_{2} = f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = \frac{5}{3}$ B、方程 $f (x) - 1 = 0$ 有三个根 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 在区间 $[0, 3]$ 上有两解，则 $t = \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$ D、函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(1, 1)$

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20、已知 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（）

A、 $n = 8$ B、展开式的各项系数的和为 $\frac{1}{32}$ C、展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D、展开式的常数项为第5项

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